I attended a course in algebraic number theory from Artin which was extremely elegant, although perhaps too advanced for me. However, it wasn’t until a few years later that I learned what an algebraic number was. The course was so streamlined that algebraic numbers were never actually mentioned.
—John Milnor, citado por Steven Krantz
Esta es la página del curso de maestría de la teoría de números algebraicos que impartí en CIMAT, Guanajuato en el otoño de 2020.
Materiales del curso
Libro de texto improvisado: Teoría de números algebraicos
Última actualización 09/12/20, 315 p., ¡comentarios bienvenidos!
El código fuenteLos videos de clases se encuentran en una página separada
Introducción
La teoría de números algebraicos estudia… los números algebraicos, es decir, los números complejos \(\alpha \in \mathbb{C}\) que satisfacen una relación algebraica no trivial \[a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + \cdots + a_1 \alpha + a_0 = 0,\] donde \(a_i \in \mathbb{Q}\) y \(a_n \ne 0\). Estos números viven en los campos de números que son extensiones finitas \(K/\mathbb{Q}\). A saber, los campos de números son de la forma \(K = \mathbb{Q} (\alpha_1,\ldots,\alpha_s)\), donde los \(\alpha_i\) son números algebraicos.
Un ejemplo sencillo de campo de números es \[\mathbb{Q} (\sqrt{-5}) = \{ a + b\sqrt{-5} \mid a,b \in \mathbb{Q} \},\] la extensión cuadrática de los números racionales que se obtiene añadiendo la raíz cuadrada \(\sqrt{-5}\).
La teoría de números surge al considerar subanillos en los campos de números \(R \subset K\), que sería lógico denominar los anillos de números. (No es un término muy común, pero lo adoptaremos en nuestro curso.) Por ejemplo \[\mathbb{Z} [\sqrt{-5}] = \{ a + b\sqrt{-5} \mid a,b \in \mathbb{Z} \}\] es un anillo de números dentro del campo de números \(\mathbb{Q} (\sqrt{-5})\).
Los anillos de números son objetos unidimensionales. Específicamente, a cualquier anillo conmutativo \(R\) se puede asociar su dimensión de Krull \(\dim R\), y para cualquier anillo de números se cumple \(\dim R = 1\). En este sentido la teoría de anillos de números se parece mucho a la teoría de curvas algebraicas.
Los anillos de números son generalizaciones bastante sencillas del anillo de los números enteros \(\mathbb{Z}\), pero en los anillos de números, entre otras cosas, ya no necesariamente se cumple el teorema fundamental de la aritmética (que afirma que todo número se expresa esencialmente de manera única como un producto de números primos). Por ejemplo, en el anillo \(\mathbb{Z} [\sqrt{-5}]\) \[2\cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})\,(1 - \sqrt{-5})\] son dos factorizaciones distintas del número \(6\). La idea de Richard Dedekind consistía en remplazar las factorizaciones en números primos por factorizaciones de ideales en ideales primos del anillo. En el ejemplo de arriba, \[(2) = \mathfrak{p}^2, \quad (3) = \mathfrak{q}_1 \mathfrak{q}_2, \quad (1 + \sqrt{-5}) = \mathfrak{p} \mathfrak{q}_1, \quad (1 - \sqrt{-5}) = \mathfrak{p} \mathfrak{q}_2,\] donde \[\mathfrak{p} = (2, 1 + \sqrt{-5}); \quad \mathfrak{q}_1 = (3, 1 + \sqrt{-5}); \quad \mathfrak{q}_2 = (3, 2 + \sqrt{-5})\] son ideales primos en \(\mathbb{Z} [\sqrt{-5}]\). Los anillos de números donde los ideales se descomponen de manera única en ideales primos se conocen como los anillos de Dedekind. Todas estas nociones serán introducidas y consideradas en detalles en el curso.
El objetivo principal será definir algunos invariantes fundamentales de los campos de números: el anillo de enteros \(\mathcal{O}_K \subset K\), grupo de clases \(\operatorname{Cl} (K)\), y grupo de unidades \(\mathcal{O}_K^\times\), demostrar sus propiedades básicas y aprender a calcularlos.
Para qué sirve este curso
El curso podría ser interesante para los que estudian álgebra conmutativa, ya que serán consideradas algunas nociones fundamentales de esta área (ideales primos, anillos de valuación discreta, anillos de Dedekind, el grupo de Picard de un anillo conmutativo, el grupo de unidades, etc.), basándose en ejemplos muy concretos y calculables. En cierto sentido, el álgebra conmutativa históricamente se originó en la teoría de números algebraicos. (El mismo término «anillo» fue introducido por Hilbert en un contexto de anillos de números, e «ideal» es la abreviación del «número ideal».)
Además, la similitud entre los anillos de números y curvas algebraicas que mencioné arriba, haría este material útil para los que están aprendiendo superficies de Riemann, singularidades de curvas, etc. y los interesados en la geometría algebraica moderna (la teoría de esquemas etc.).
Por último, y no menos importante, este curso es fundamental para los estudiantes con intención de aprender la teoría de números.
CONOCIMIENTOS PRELIMINARES
Tendré que suponer que los oyentes conozcan las nociones como anillo (conmutativo), ideal (primo, maximal), anillo cociente, módulo sobre un anillo (módulo libre, rango), y campo (incluso la teoría de campos finitos). También no estaría mal conocer la teoría de Galois básica. De todas maneras, empezaremos por una revisión de temas importantes de álgebra, y cuando sea necesario en el transcurso, trataremos las nociones poco conocidas. Uno de mis objetivos es presentar diferentes herramientas algebraicas, así como ejemplos muy concretos.
FORMATO
Debido a la contingencia por el COVID-19, el curso será impartido en línea, ¡así que todos los interesados son bienvenidos! Además, los apuntes para cada clase y tareas del curso serán disponibles en esta página.
PLAN DEL CURSO
Capítulo 1. Primer encuentro con anillos de números
Campos y anillos de números
Reciprocidad cuadrática mediante sumas de Gauss en \(\mathbb{Z} [\zeta_p]\)
Divisibilidad y factorización en dominios (dominios de factorización única, dominios de ideales principales, dominios euclidianos)
Enteros de Gauss \(\mathbb{Z} [i]\) y enteros de Eisenstein \(\mathbb{Z} [\zeta_3]\)
Reciprocidad cúbica
Ternas pitagóricas
Ecuación de Fermat \(x^3 + y^3 = z^3\)
Puntos enteros en curvas \(y^2 = x^3 + t\)
Ecuación de Pell \(x^2 - dy^2 = 1\)
Capítulo 2. Aritmética de ideales
- Operaciones con ideales
- Ideales primos y maximales
- Ideales en anillos de números
- Ideales fraccionarios
- Anillo de enteros \(\mathcal{O}_K\)
- Dominios de Dedekind
- Teorema de Kummer–Dedekind
- Aplicación: campos cuadráticos y campos ciclotómicos \(\mathbb{Q} (\zeta_p)\)
Capítulo 3. Álgebra \(\mathbb{Z}\)-lineal
- Norma y traza
- Recordatorio de álgebra lineal
- Apareamiento de traza y el discriminante
- Generación finita del anillo de enteros
- Cálculos del discriminante y anillo de enteros
- Versión más general de Kummer–Dedekind
- Discriminante y ramificación
- Teoremas de Brill y Stickelberger
- Campos linealmente disjuntos
- Anillo de enteros de \(\mathbb{Q} (\zeta_n)\)
- Cálculos en PARI/GP
Capítulo 4. Teoría de Galois
- Breve recordatorio sobre la teoría de Galois
- Acción del grupo de Galois sobre los ideales
- Grupo de descomposición e inercia
- Otra prueba de la reciprocidad cuadrática
- El automorfismo de Frobenius
- Caso de extensiones no Galois
Capítulo 5. Teoría de Minkowski
Retículos y el teorema de Minkowski
Aplicación: teorema de cuatro cuadrados y teorema de aproximación de Dirichlet
Anillo de enteros como un retículo
Cota de Minkowski
Teorema de Hermite
Finitud del grupo de clases
Ejemplo: campos cuadráticos imaginarios
Números de la suerte de Euler
Ejemplo: campos cuadráticos reales
Perspectiva: campos ciclotómicos
Campos con número de clases 2
Teoría de Minkowski y la ecuación de Pell
Teorema de unidades de Dirichlet
Aplicación: unidades en \(\mathbb{Z} [\zeta_p]\)
Fracciones continuas. Fracciones continuas periódicas.
Soluciones de la ecuación de Pell. Unidades fundamentales en campos cuadráticos reales
Cálculo del grupo de clases y unidades en PARI/GP
Capítulo 6. Función zeta de Dedekind
Función zeta de Dedekind
Ejemplo: la función zeta de \(\mathbb{Q} (i)\)
Fórmula analítica del número de clases
Regulador
Ejemplos de uso de la fórmula del número de clases. Número de clases de \(\mathbb{Q} (\sqrt{-p})\)
Demostración de la fórmula del número de clases
Factorización de la función zeta en series L de Dirichlet
Perspectiva: Prolongación analítica
Perspectiva: Valores especiales. Números y polinomios de Bernoulli. Valores especiales de las series L de Dirichlet. Aplicación a los campos reales abelianos
Equivalencia aritmética y las ternas de Gassmann
Todos los invariantes que serán considerados en el curso se pueden calcular algorítmicamente. En particular, veremos ejemplos de cálculos en el programa PARI/GP y la base de datos LMFDB. Todo el material teórico será acompañado de problemas con pruebas y cálculos particulares.
Referencias
Mi fuente principal de inspiración son los apuntes de Peter Stevenhagen de un curso que se imparte en la universidad de Leiden (Países Bajos). Además, podrían ser útiles diferentes libros de texto sobre el tema; he aquí algunas fuentes que puedo recomendar.
Algunos apuntes en línea
Peter Stevenhagen, Number Rings
Andrew Sutherland, Number Theory I
J.S. Milne, Algebraic Number Theory
Robert B. Ash, A Course In Algebraic Number Theory
Libros introductorios
Kenneth Ireland and Michael Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Chapters 12, 13, 17
Saban Alaca and Kenneth S. Williams, Introductory Algebraic Number Theory
Kazuya Kato, Nobushige Kurokawa, Takeshi Saito, Introduction to Class Field Theory
A. Fröhlich and M. J. Taylor, Algebraic Number Theory
Daniel A. Marcus, Number Fields
Pierre Samuel, Théorie algébrique des nombres
Z.I. Borevich and I.R. Shafarevich, Number Theory, Chapters 4, 5
Fernando Rodriguez Villegas, Experimental Number Theory (para experimentos en PARI/GP)
David A. Cox, Primes of the form \(x^2 + ny^2\)
Lectura avanzada
- Jürgen Neukirch, Algebraic Number Theory
- Serge Lang, Algebraic Number Theory
- J.W.S. Cassels and A. Fröhlich, Algebraic Number Theory
Enlaces de interés
Agradecimientos
Agradezco a CIMAT por la oportunidad de dar este curso, y en particular al Dr. Xavier Gómez Mont y Dr. Pedro Luis del Ángel.
Pavel Solomatin y Dmitry Shvetsov han hecho varias observaciones útiles acerca de una versión preliminar de mis notas, y hemos tenido muchas conversaciones sobre la teoría de números y pedagogía.
También agradezco a todos los participantes del curso, y sobre todo a Marvin Ferman Bell, José de Jesús García Ruvalcaba, William Eduardo Pena, Óscar Andrés Ramírez Ramírez, y Alexis Zamora.
Copyleft
Esta obra está disponible bajo la licencia CC BY-SA 4.0.