Puntos enteros en politopos y anillos de Cohen–Macaulay

Universidad de El Salvador, 8 de agosto – 2 de septiembre de 2016

La idea del curso es relacionar dos temas: la geometría combinatoria (puntos enteros en politopos convexos) y el álgebra conmutativa/homológica (los anillos de Cohen–Macaulay). El curso está destinado sobre todo a los estudiantes de maestría, pero la parte combinatoria no va a usar matemáticas sofisticadas y será interesante para el público general.

Una introducción detallada: propuesta.pdf

Lun Mar Mié Jue Vie Sáb Dom
1–7 de agosto
Fiestas patronales de San Salvador (vacaciones en la universidad)
8
combinatoria 1
álgebra 1
9
combinatoria 2
álgebra 2
10
combinatoria 3
álgebra 3
11
combinatoria 4
álgebra 4
12
combinatoria 5
álgebra 5
13
escuela
14
15
combinatoria 6
álgebra 6
16
combinatoria 7
álgebra 7
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álgebra 8
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álgebra 9
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álgebra 10
20 21
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álgebra 11
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*combinatoria 8
álgebra 12
24
*combinatoria 9
álgebra 13
25
álgebra 14
álgebra extra
26
álgebra 15
27 28
29
álgebra 16
30
coh. de grupos 1
31
coh. de grupos 2
1
coh. de grupos 3
2
día 20
3
examen
4

Plan aproximado

El curso consistirá en dos partes independientes.

Primera parte: Álgebra homológica

Este es un minicurso de álgebra homológica dirigido a estudiantes de maestría. Vamos a empezar por una introducción básica que puede ser útil para todos los estudiantes interesados en el álgebra (geometría algebraica, topología algebraica, teoría de números algebraica, etc.):

Al final vamos a ver una aplicación de métodos homológicos al álgebra conmutativa:

Los requisitos son álgebra abstracta (anillos, módulos, etc.).

Segunda parte: Geometría combinatoria

Esta parte será más elemental y no exigirá ningún requisito salvo conocimientos mínimos de álgebra lineal y la topología de Rn:

Si el tiempo nos lo permite, vamos a ver la demostración de resultados sobre puntos enteros en politopos con métodos del álgebra homológica y conmutativa (usando las herramientas de la primera parte).

Apuntes de mi curso de álgebra homológica

  1. 8.08.2016: hemos revisado R-módulos, funtores HomR (−,−) y − ⊗R −, la adjunción HomR (L ⊗R MN) ≅ HomR (L, HomR (M,N)); hemos definido categorías, isomorfismos, monomorfismos, epimorfismos, productos y coproductos.
  2. 9.08.2016: hemos definido funtores y transformaciones naturales y hemos demostrado el lema de Yoneda con sus consecuencias.
  3. 10.08.2016: hemos definido funtores adjuntos y hemos visto sus propiedades (todas son consecuencias del lema de Yoneda); hemos definido núcleos y conúcleos en categorías con objeto cero.
  4. 11.08.2016: hemos definido categorías aditivas y funtores aditivos entre ellas; hemos visto algunas propiedades curiosas: en categorías aditivas productos y coproductos coinciden y corresponden a biproductos; la estructura de grupos abelianos sobre HomA (M,N) es definida de modo único por las propiedades universales del (co)producto; dos funtores adjuntos FA → B y GB → A entre categorías aditivas son automáticamente aditivos (en particular, nuestros funtores preferidos HomR (−,−) y − ⊗R − son aditivos), y las biyecciones naturales HomB (F(M), N) ≅ HomA (MG(N)) son isomorfismos de grupos abelianos.
  5. 12.08.2016: hemos definido categorías abelianas, sucesiones exactas, funtores exactos; hemos visto que un funtor adjunto por la izquierda es exacto por la derecha y un adjunto por la derecha es exacto por la izquierda (en particular, HomR (M,−) y HomR (−,N) son exactos por la izquierda; M ⊗R − y − ⊗R N son exactos por la derecha).
  6. 15.08.2016: hemos definido funtores derivados como δ-funtores universales y hemos demostrado que cada δ-funtor borrable es universal.
  7. 16.08.2016: hemos definido la categoría de complejos, homotopías entre morfismos de complejos y cuasi-isomorfismos de complejos; hemos formulado el lema de la serpiente.
  8. 17.08.2016: hemos demostrado un par de consecuencias del lema de la serpiente: el lema del cinco y la sucesión exacta larga de cohomología; hemos definido conos de morfismos de complejos y hemos visto sus propiedades.
  9. 18.08.2016: hemos definido objetos proyectivos e inyectivos y hemos visto sus propiedades básicas.
  10. 19.08.2016: hemos visto que en una categoría abeliana con suficientes objetos proyectivos (resp. inyectivos) para cada objeto se puede construir su resolución proyectiva (resp. inyectiva) y las resoluciones son únicas salvo homotopía; en particular, en la categoría de R-módulos hay suficientes proyectivos e inyectivos.
  11. 22.08.2016: hemos demostrado que los funtores derivados por la izquierda (resp. por la derecha) de un funtor exacto por la derecha (resp. por la izquierda) se calculan por la fórmula LnF (M) = Hn (F (P)) donde P ↠ M es una resolución proyectiva (resp. RnF (M) = Hn (F (I)) donde M ↣ I es una resolución inyectiva). Hemos definido el funtor Ext por las fórmulas Extn (−,N) := Rn HomA (−,N) y Extn (M,−) := Rn HomA (M,−).
  12. 23.08.2016: hemos definido el funtor Tor por las fórmulas Torn (−,N) := Ln (−⊗R N) y Torn (M,−) := Ln (MR −); hemos visto algunos cálculos de Ext1 (A,B) y Tor1 (A,B) de grupos abelianos: los ejemplos fáciles con A y B finitamente generados y un ejemplo más complicado de Ext1 (Q,Z).
  13. 24.08.2016: hemos recordado las construcciones del álgebra tensorial T (M) y el álgebra exterior Λ (M) de un R-módulo M. A partir del álgebra exterior hemos definido el complejo de Koszul asociado a un morfismo fF → R.
  14. 25.08.2016: hemos definido el producto tensorial de complejos MN y hemos notado que para los complejos de Koszul, K ((f1,f2)) ≅ K (f1) ⊗ K (f2). Hemos definido la cohomología de Koszul y hemos examinado el caso particular de complejos K (x1, ..., xn) para x1, ..., xn ∈ R.
    lección especial: he hablado de (co)homología singular y los teoremas de coeficientes universales (donde aparecen los funtores Ext y Tor).
  15. 26.08.2016: hemos recordado la construcción de la localización S−1R y que S−1R es un R-módulo plano (es decir, el funtor − ⊗R S−1R es exacto). Es un material que se encuentra en Atiyah–Macdonald y cualquier otro libro de álgebra conmutativa.
  16. 29.08.2016: para un anillo R y un ideal a ⊆ R hemos definido la cohomología local con soporte en a como los funtores derivados por la derecha del funtor de a-torsión Γa (−). Hemos identificado el límite directo de complejos de Koszul K (x1𝓁, ..., xn𝓁) para 𝓁 > 0 con cierto complejo compuesto por las localizaciones de R en xi1 ⋯ xit. De hecho, este complejo calcula la cohomología local con soporte en a = (x1, ..., xn).
  17. 30.08.2016: hemos relacionado los complejos de Koszul con sucesiones regulares.
  18. 01.09.2016: hemos visto el Ext de Yoneda que clasifica las extensiones.

Un mini-curso de cohomología de grupos

  1. 30.08.2016: hemos definido la cohomología Hn (G,A) y homología Hn (G,A) como funtores derivados y hemos visto los cálculos para G cíclico.
  2. 31.08.2016: hemos construido la resolución barra y hemos visto algunas formulas específicas para calcular la (co)homología de grupos.
  3. 01.09.2016: hemos visto que los grupos de cohomología H2 (G,A) y H1 (G,A) clasifican extensiones de grupos y las secciones de extensiones escindidas respectivamente.
  4. 04.09.2016: . . . . .

Apuntes de mi curso de geometría

  1. 8.08.2016: hemos definido subespacios afínes y subconjuntos convexos de Rn; hemos visto algunos ejemplos básicos (semiespacios, símplices, conos) y algunas propiedades topológicas de subconjuntos convexos.
  2. 9.08.2016: hemos definido la envolvente convexa y hemos demostrado el teorema de Carathéodory (para XRn la envolvente convexa conv X es la unión de todos los símplices de dimensión 0, 1, …, n con vértices en X). Además hemos visto un criterio de separación estricta por hiperplanos.
  3. 10.08.2016: hemos definido el conjunto polar X de subconjunto X ⊆ Rn; hemos demostrado que si K ⊆ Rn es convexo, cerrado y 0 ∈ K, entonces K○○ = K; hemos definido poliedros convexos (intersecciónes finitas de semiespacios) y politopos convexos (envolventes convexas de un número finito de puntos).
  4. 11.08.2016: hemos definido subconjuntos extremos de conjuntos convexos (F ⊆ K es extremo si F es convexo y para cada x1, x2K si (x1,x2) ∩ F ≠ ∅,entonces x1,x2 ∈ F); subconjuntos extremos de un politopo se llaman caras, y su numero es finito (porque un politopo es una intersección finita de semiespacios); en fin, hemos visto cómo se construyen los hiperplanos de soporte (para cada x ∈ fr K existe un hiperplano H tal que x ∈ H y todo K pertenece a uno de los dos semiespacios cerrados que corresponden a H)
  5. 12.08.2016: hemos demostrado el teorema de Krein–Milman (si K ⊆ Rn es convexo y compacto, entonces K es la envolvente convexa de su subconjunto de puntos extremos: K = conv ex K) y el teorema de Minkowski–Weyl (los poliedros convexos acotados son precisamente los politopos convexos).
  6. 15.08.2016: hemos visto el teorema de Pick: para cada polígono convexo P con vértices en Z2 el área es igual a I + B/2 - 1, donde I es el número de puntos enteros en el interior de P y B es el número de puntos enteros en la frontera de P. La generalización correcta de este resultado para dimensiónes superiores es dada por los polinomios de Ehrhart: para cada politopo convexo P en Rd de dimensión d con vértices en Zd la función 𝓁P (m) := #(mP ∩ Zd) es un polinomio de grado d en m; el número de los púntos enteros en el interior de P cuenta el polinomio (−1)d 𝓁P (−m). Hemos visto algunos ejemplos particulares de polinomios de Ehrhart.
  7. 16.08.2016: hemos aplicado la teoría de Ehrhart al problema de enumeración de cuadrados mágicos.
  8. 23.08.2016: hemos revisado la teoría básica de las series de Hilbert.

Ejercicios

El curso va acompañado de sencillos ejercicios que sirven para comprender bien la teoría, y el examen final (para hacer en casa) va a ser basado en los mismos ejercicios.

Examen

Los estudiantes que quieran hacer el examen pueden escribirme un mensaje a cadadr arroba gmail punto com. Cada uno recibirá seis ejercicios de la lista de arriba. Trataré de escoger ejercicios sobre temas diversos, y sin intersecciones.

El examen tendrá lugar el 3 de septiembre (sábado); pueden escoger el día y hora.

El examen consiste en dos partes:

Cada solución completa y cada respuesta correcta valdrán un punto de la nota final de 10. La nota mínima para recibir un certificado de aprobación es 6/10.

Favor escribirme lo antes posible si quieren hacer el examen para tener más tiempo para resolver los ejercicios. Si necesitan más tiempo, es totalmente normal. Podemos organizar el examen más tarde por Skype (con 10 ejercicios para hacer en casa, ya que van a tener más tiempo).

Una exposición para estudiantes de escuela

Referencias principales

Participantes

Contacto

Email: c a d a d r arroba gmail punto com