Un mini-curso de álgebra homológica
Universidad de El Salvador
8 de agosto – 2 de septiembre de 2016

Es una breve introducción al álgebra homológica básica: categorías abelianas y funtores derivados. Actualmente estoy escribiendo un libro de texto basado en este curso. Esta página contiene los apuntes que escribí en agosto de 2016.

Apuntes

  1. 8.08.2016: hemos revisado R-módulos, funtores HomR (−,−) y − ⊗R −, la adjunción HomR (L ⊗R MN) ≅ HomR (L, HomR (M,N)); hemos definido categorías, isomorfismos, monomorfismos, epimorfismos, productos y coproductos.
  2. 9.08.2016: hemos definido funtores y transformaciones naturales y hemos demostrado el lema de Yoneda con sus consecuencias.
  3. 10.08.2016: hemos definido funtores adjuntos y hemos visto sus propiedades (todas son consecuencias del lema de Yoneda); hemos definido núcleos y conúcleos en categorías con objeto cero.
  4. 11.08.2016: hemos definido categorías aditivas y funtores aditivos entre ellas; hemos visto algunas propiedades curiosas: en categorías aditivas productos y coproductos coinciden y corresponden a biproductos; la estructura de grupos abelianos sobre HomA (M,N) es definida de modo único por las propiedades universales del (co)producto; dos funtores adjuntos FA → B y GB → A entre categorías aditivas son automáticamente aditivos (en particular, nuestros funtores preferidos HomR (−,−) y − ⊗R − son aditivos), y las biyecciones naturales HomB (F(M), N) ≅ HomA (MG(N)) son isomorfismos de grupos abelianos.
  5. 12.08.2016: hemos definido categorías abelianas, sucesiones exactas, funtores exactos; hemos visto que un funtor adjunto por la izquierda es exacto por la derecha y un adjunto por la derecha es exacto por la izquierda (en particular, HomR (M,−) y HomR (−,N) son exactos por la izquierda; M ⊗R − y − ⊗R N son exactos por la derecha).
  6. 15.08.2016: hemos definido funtores derivados como δ-funtores universales y hemos demostrado que cada δ-funtor borrable es universal.
  7. 16.08.2016: hemos definido la categoría de complejos, homotopías entre morfismos de complejos y cuasi-isomorfismos de complejos; hemos formulado el lema de la serpiente.
  8. 17.08.2016: hemos demostrado un par de consecuencias del lema de la serpiente: el lema del cinco y la sucesión exacta larga de cohomología; hemos definido conos de morfismos de complejos y hemos visto sus propiedades.
  9. 18.08.2016: hemos definido objetos proyectivos e inyectivos y hemos visto sus propiedades básicas.
  10. 19.08.2016: hemos visto que en una categoría abeliana con suficientes objetos proyectivos (resp. inyectivos) para cada objeto se puede construir su resolución proyectiva (resp. inyectiva) y las resoluciones son únicas salvo homotopía; en particular, en la categoría de R-módulos hay suficientes proyectivos e inyectivos.
  11. 22.08.2016: hemos demostrado que los funtores derivados por la izquierda (resp. por la derecha) de un funtor exacto por la derecha (resp. por la izquierda) se calculan por la fórmula LnF (M) = Hn (F (P)) donde P ↠ M es una resolución proyectiva (resp. RnF (M) = Hn (F (I)) donde M ↣ I es una resolución inyectiva). Hemos definido el funtor Ext por las fórmulas Extn (−,N) := Rn HomA (−,N) y Extn (M,−) := Rn HomA (M,−).
  12. 23.08.2016: hemos definido el funtor Tor por las fórmulas Torn (−,N) := Ln (−⊗R N) y Torn (M,−) := Ln (MR −); hemos visto algunos cálculos de Ext1 (A,B) y Tor1 (A,B) de grupos abelianos: los ejemplos fáciles con A y B finitamente generados y un ejemplo más complicado de Ext1 (Q,Z).
  13. 24.08.2016: hemos recordado las construcciones del álgebra tensorial T (M) y el álgebra exterior Λ (M) de un R-módulo M. A partir del álgebra exterior hemos definido el complejo de Koszul asociado a un morfismo fF → R.
  14. 25.08.2016: hemos definido el producto tensorial de complejos MN y hemos notado que para los complejos de Koszul, K ((f1,f2)) ≅ K (f1) ⊗ K (f2). Hemos definido la cohomología de Koszul y hemos examinado el caso particular de complejos K (x1, ..., xn) para x1, ..., xn ∈ R.
    lección especial: he hablado de (co)homología singular y los teoremas de coeficientes universales (donde aparecen los funtores Ext y Tor).
  15. 26.08.2016: hemos recordado la construcción de la localización S−1R y que S−1R es un R-módulo plano (es decir, el funtor − ⊗R S−1R es exacto). Es un material que se encuentra en Atiyah–Macdonald y cualquier otro libro de álgebra conmutativa.
  16. 29.08.2016: para un anillo R y un ideal a ⊆ R hemos definido la cohomología local con soporte en a como los funtores derivados por la derecha del funtor de a-torsión Γa (−). Hemos identificado el límite directo de complejos de Koszul K (x1𝓁, ..., xn𝓁) para 𝓁 > 0 con cierto complejo compuesto por las localizaciones de R en xi1 ⋯ xit. De hecho, este complejo calcula la cohomología local con soporte en a = (x1, ..., xn).
  17. 30.08.2016: hemos relacionado los complejos de Koszul con sucesiones regulares.
  18. 01.09.2016: hemos visto el Ext de Yoneda que clasifica las extensiones.

Un mini-curso de cohomología de grupos

  1. 30.08.2016: hemos definido la cohomología Hn (G,A) y homología Hn (G,A) como funtores derivados y hemos visto los cálculos para G cíclico.
  2. 31.08.2016: hemos construido la resolución barra y hemos visto algunas formulas específicas para calcular la (co)homología de grupos.
  3. 01.09.2016: hemos visto que los grupos de cohomología H2 (G,A) y H1 (G,A) clasifican extensiones de grupos y las secciones de extensiones escindidas respectivamente.
  4. 04.09.2016: . . . . .

Ejercicios

Referencias principales

Mi exposición está lejos de ser exhaustiva, pero espero que mis apuntes puedan servir para el estudiante interesado en consultar otras fuentes más detalladas sobre el tema:

Mi curso empieza por una breve discusión de conceptos de la teoría de categorías porque estoy convencido de que cada curso de álgebra debe usar categorías para aclarar los argumentos y construcciones. La fuente clásica es

y a los lectores interesados recomiendo

Álgebra homológica no es un objeto de estudio sino un instrumento, así que el curso termina con un par de aplicaciones de la teoría general: una introducción básica a la cohomología local y una breve discusión de la cohomología de grupos. Las fuentes principales para la cohomología local que he usado son el capítulo 6 de

y el libro

Para la cohomología de grupos, recomiendo

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