Curso de Álgebra: 2019
Universidad de El Salvador

Esta página contiene los materiales relacionados con el curso de álgebra en la Universidad de El Salvador que estoy dando en el primer semestre de 2019.

Cíclo impar 2019

Horario

Consultas: martes y jueves después de clase o por correo electrónico.

Lista de correos

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Programa tentativo

  1. Breve revisión de la teoría de conjuntos.
  2. Anillos y cuerpos: definiciones básicas. Subanillos. Ejemplos: $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$; recordatorio sobre los números complejos; $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ y $\mathbb{F}_p$; anillos de funciones sobre un conjunto, funciones continuas sobre un espacio, etc.; anillos aritméticos $\mathbb{Z} [\sqrt{n}]$. Productos de anillos. Cuerpos de fracciones.
  3. Anillos de polinomios. Raíces de polinomios: teorema de Lagrange, fórmulas de Vieta. División con resto de polinomios. Interpolación. Cuerpo de funciones racionales. Derivadas formales. Raíces múltiples. Teorema fundamental del álgebra. Polinomios ciclotómicos.
  4. Divisibilidad. Elementos primos e irreducibles. Dominios euclidianos. Dominios de ideales principales. Dominios de factorización única. Valuaciones $p$-ádicas.
  5. Homomorfismos de anillos. Ideales. Anillos cociente. El teorema chino del resto.
  6. Factorización de polinomios: lema de Gauss y sus consecuencias. Criterios de irreducibilidad. Irreducibilidad de los polinomios ciclotómicos $\Phi_n$ (el caso de $n$ primo y compuesto).
  7. Grupos. Definiciones y ejemplos básicos. Grupos diédricos. El grupo del círculo y las raíces de la unidad. Grupos de unidades. Productos de grupos.
  8. El grupo simétrico y alternante.
  9. Anillos de matrices. Grupos $\operatorname{GL}_n$ y $\operatorname{SL}_n$.
  10. Homomorfismos de grupos. Subgrupos normales. Grupos cociente.
  11. Subgrupos generados. Grupos cíclicos. Grupos abelianos finitamente generados.
  12. Acciones de grupos.
  13. Producto semidirecto y extensiones.
  14. Conmutadores y abelianización.

Ejercicios

Exámenes

Evaluación

La nota final del curso se obtendrá a partir de 4 evaluaciones:

Cronograma

Semana 1
18/02–24/02
Clases
Hoja de ejercicios 1
Semana 2
25/02–03/03
Clases
Hoja de ejercicios 2
Semana 3
04/03–10/03
Clases
Hoja de ejercicios 3
Examen corto 1 (hojas 1 y 2)
Semana 4 Clases
Hoja de ejercicios 4
Semana 5 Clases
Hoja de ejercicios 5
Examen corto 2 (hojas 3 y 4)
Semana 6 Clases
Hoja de ejercicios 6
Semana 7 Clases
Hoja de ejercicios 7
Examen parcial 1 (material de las semanas 1–6)
Semana 8 Clases
Hoja de ejercicios 8
Semana 9 Clases
Hoja de ejercicios 9
Examen corto 3 (hojas 7 y 8)
Semana 10 Clases
Hoja de ejercicios 10
Semana 11 Clases
Hoja de ejercicios 11
Examen corto 4 (hojas 9 y 10)
Semana 12 Clases; hoja de ejercicios 12
Semana 13 Clases
Hoja de ejercicios 13
Examen parcial 2 (material de las semanas 7–12)
Semana 14 Clases
Hoja de ejercicios 14
Semana 15 Clases
Hoja de ejercicios 15
Examen corto 5 (hojas 13 y 14)
Semana 16 Clases
Hoja de ejercicios 16
Semana 17 Examen corto 6 (hojas 15 y 16)
Semana 18 Examen parcial 3 (material de las semanas 13–16)

Lectura adicional

No vamos a seguir ningún libro en específico. Todo el material necesario eventualmente estará en mis apuntes. He aquí algunos libros adicionales en inglés.

Contacto

No duden en contactarme por cualquier pregunta sobre el curso: c a d a d r arroba gmail punto com.