Teoría de números algebraicos

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Apuntes digitados: Teoría de números algebraicos (última actualización 23/11/20, 278 p.)

Diapositivas:

Lista de reproducción de YouTube.

10/08/2020. Clase 1

Breve introducción. Campos y anillos de números. PARI/GP.

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12/08/2020. Clase 2

Divisibilidad, elementos primos e irreducibles; dominios de factorización única, de ideales principales y euclidianos. Enteros de Gauss $\mathbb{Z} [i]$. El teorema de dos cuadrados de Fermat.

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17/08/2020. Clase 3

Campos residuales $\mathbb{Z} [i]/(\pi)$. Enteros de Eisenstein $\mathbb{Z} [\zeta_3]$. Reciprocidad cúbica.

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19/08/2020. Clase 4

Ternas pitagóricas $x^2 + y^2 = z^2$ y $\mathbb{Z} [i]$. Ecuación de Fermat $x^3 + y^3 = z^3$ y $\mathbb{Z} [\zeta_3]$. Puntos enteros en curvas elípticas $y^2 = x^3 + t$. Ecuación de Pell $x^2 - dy^2 = 1$ y las unidades en $\mathbb{Z} [\sqrt{d}]$.

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24/08/2020. Clase 5

Suma y producto de ideales. Ideales coprimos. Teorema chino del resto. Ideales primos y maximales. Ideales en anillos de números.

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26/08/2020. Clase 6

Ideales en anillos de números (continuación). Ideales fraccionarios y el grupo de Picard. Anillo de enteros $\mathcal{O}_K$.

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31/08/2020. Clase 7

Anillo de enteros $\mathcal{O}_K$ (continuación). Dominios de Dedekind.

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02/09/2020. Clase 8

Teorema de Kummer–Dedekind.

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07/09/2020. Clase 9

Traza y norma. Emparejamiento de traza. $\operatorname{rk} \mathcal{O}_K = [K : \mathbb{Q}]$. Discriminante $\Delta_K$.

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09/09/2020. Clase 10

Cálculos de determinantes y anillos de enteros.

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14/09/2020. Clase 11

Cálculos de anillos de enteros (continuación). Versión general de Kummer–Dedekind. Ramificación y discriminante.

El código de PARI/GP que utilicé para caulcular el anillo de enteros de $\mathbb{Q} (\sqrt[3]{19})$: ok-dumb-calculation.gp

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21/09/2020. Clase 12

Teoremas de Brill y Stickelberger. Campos linealmente disjuntos. El anillo de enteros de $\mathbb{Q} (\zeta_n)$.

YouTube / apuntes manuscritos

23/09/2020. Clase 13

Factorización de primos en $\mathbb{Q} (\zeta_n)$. Campos de números en PARI/GP.

YouTube / apuntes manuscritos / diapositivas / sesión en PARI/GP

28/09/2020. Clase 14

Parte 1/2. Ideales en el anillo de enteros en PARI/GP.

Parte 2/2. Experimentos numéricos. Teorema de densidad de Chebotarëv.

YouTube: primera parte, segunda parte / diapositivas / sesión en PARI/GP / ejemplos para el teorema de Chebotarëv

05/10/2020. Clase 15

Parte 1/2. Breve revisión de la teoría de Galois. Problema inverso de Galois para G abeliano. Teorema de Kronecker–Weber (enunciado).

Parte 2/2. Acción de $\operatorname{Gal} (K/\mathbb{Q})$ sobre los ideales primos

YouTube: primera parte, segunda parte / apuntes manuscritos

07/10/2020. Clase 16

Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas (enunciado y bosquejo de la prueba).

YouTube / apuntes manuscritos

12/10/2020. Clase 17

Grupo de descomposición e inercia. Otra prueba de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss.

YouTube / apuntes manuscritos

14/10/2020. Clase 18

Automorfismo de Frobenius.

YouTube / apuntes manuscritos

19/10/2020. Clase 19

Retículos y el teorema de Minkowski. Teorema de cuatro cuadrados.

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21/10/2020. Clase 20

Parte 1/3. Anillo de enteros como un retículo.

Parte 2/3. Cota de Minkowski.

Parte 3/3. Teorema de Hermite.

YouTube: parte 1, parte 2, parte 3 / apuntes manuscritos

26/10/2020. Clase 21

Finitud del grupo de clases. Campos cuadráticos imaginarios. Teorema de Baker–Heegner–Stark. Polinomio $x^2 + x + 41$ y los números de la suerte de Euler. Campos cuadráticos reales. Heurística de Cohen–Lenstra. Campos ciclotómicos.

diapositivas

Lectura adicional recomendada:

28/10/2020. Clase 22

Teorema de unidades de Dirichlet.

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04/11/2020. Clase 23

Fracciones continuas.

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09/11/2020. Clase 24

Fracciones continuas para $\sqrt{d}$. Soluciones de la ecuación de Pell $x^2 - dy^2 = \pm 1$. Unidad fundamental para $\mathbb{Z} [\sqrt{d}]$ y $\mathbb{Z} \Bigl[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\Bigr]$.

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