Teoría de números algebraicos

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Teorema de densidad de Chebotarëv: ejemplos

Consideremos un campo de números $K/\mathbb{Q}$. Si $p$ es un primo racional que no se ramifica en $K$, entonces se tiene $p\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_s$, y los grados de campos residuales cumplen $\sum_i f_i = n$, donde $n = [K:\mathbb{Q}]$. ¿Con qué frecuencia ocurre cada partición de $n$? Los siguientes videos muestran las frecuencias calculadas para un número bastante grande de primos. Se ve que estas convergen a ciertos números. Su significado explica el teorema de densidad de Chebotarëv (veremos los detalles más adelante).

Lectura recomendada:
P. Stevenhagen, H. W. Lenstra, Jr., Chebotarëv and his density theorem, Math. Intelligencer 18 (1996), no. 2, 26–37.
http://pub.math.leidenuniv.nl/~lenstrahw/PUBLICATIONS/1994c/art.pdf

$K = \mathbb{Q}(i)$

$K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$

$K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\zeta_3)$

$K = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)$

$K = \mathbb{Q}(\zeta_{13})$

$K = \mathbb{Q}(\zeta_{61})$

$K = \mathbb{Q}[x]/(x^4-x+1)$

$K = \mathbb{Q}[x]/(x^5-x+1)$