Teoría de números algebraicos

Cualquier pregunta sobre el curso:
alexey.beshenov@cimat.mx

Mis cursos en CIMAT

Mis cursos en San Salvador

Introducción

DE QUÉ SE TRATA. La teoría de números algebraicos estudia... los números algebraicos, es decir, los números complejos $\alpha \in \mathbb{C}$ que satisfacen una relación algebraica no trivial $$a_n \alpha^n + a_{n-1} \alpha^{n-1} + \cdots + a_1 \alpha + a_0 = 0,$$ donde $a_i \in \mathbb{Q}$ y $a_n \ne 0$. Estos números viven en los campos de números que son extensiones finitas $K/\mathbb{Q}$. A saber, los campos de números son de la forma $K = \mathbb{Q} (\alpha_1,\ldots,\alpha_s)$, donde los $\alpha_i$ son números algebraicos.

Un ejemplo sencillo de campo de números es $$\mathbb{Q} (\sqrt{-5}) = \{ a + b\sqrt{-5} \mid a,b \in \mathbb{Q} \},$$ la extensión cuadrática de los números racionales que se obtiene añadiendo la raíz cuadrada $\sqrt{-5}$.

La teoría de números surge al considerar subanillos en los campos de números $R \subset K$, que sería lógico denominar los anillos de números. (No es un término muy común, pero lo adoptaremos en nuestro curso.) Por ejemplo $$\mathbb{Z} [\sqrt{-5}] = \{ a + b\sqrt{-5} \mid a,b \in \mathbb{Z} \}$$ es un anillo de números dentro del campo de números $\mathbb{Q} (\sqrt{-5})$.

Los anillos de números son objetos unidimensionales. Específicamente, a cualquier anillo conmutativo $R$ se puede asociar su dimensión de Krull $\dim R$, y para cualquier anillo de números se cumple $\dim R = 1$. En este sentido la teoría de anillos de números se parece mucho a la teoría de curvas algebraicas.

Los anillos de números son generalizaciones bastante sencillas del anillo de los números enteros $\mathbb{Z}$, pero en los anillos de números, entre otras cosas, ya no necesariamente se cumple el teorema fundamental de la aritmética (que afirma que todo número se expresa esencialmente de manera única como un producto de números primos). Por ejemplo, en el anillo $\mathbb{Z} [\sqrt{-5}]$ $$2\cdot 3 = (1 + \sqrt{-5})\,(1 - \sqrt{-5})$$ son dos factorizaciones distintas del número $6$. La idea de Richard Dedekind consistía en remplazar las factorizaciones en números primos por factorizaciones de ideales en ideales primos del anillo. En el ejemplo de arriba, $$(2) = \mathfrak{p}^2, \quad (3) = \mathfrak{q}_1 \mathfrak{q}_2, \quad (1 + \sqrt{-5}) = \mathfrak{p} \mathfrak{q}_1, \quad (1 - \sqrt{-5}) = \mathfrak{p} \mathfrak{q}_2,$$ donde $$\mathfrak{p} = (2, 1 + \sqrt{-5}); \quad \mathfrak{q}_1 = (3, 1 + \sqrt{-5}); \quad \mathfrak{q}_2 = (3, 2 + \sqrt{-5})$$ son ideales primos en $\mathbb{Z} [\sqrt{-5}]$. Los anillos de números donde los ideales se descomponen de manera única en ideales primos se conocen como los anillos de Dedekind. Todas estas nociones serán introducidas y consideradas en detalles en el curso.

El objetivo principal será definir algunos invariantes fundamentales de los campos de números: el anillo de enteros $\mathcal{O}_K \subset K$, grupo de clases $\operatorname{Cl} (K)$, y grupo de unidades $\mathcal{O}_K^\times$, demostrar sus propiedades básicas y aprender a calcularlos.


PARA QUÉ SIRVE ESTE CURSO. El curso podría ser interesante para los que estudian álgebra conmutativa, ya que serán consideradas algunas nociones fundamentales de esta área (ideales primos, anillos de valuación discreta, anillos de Dedekind, el grupo de Picard de un anillo conmutativo, el grupo de unidades, etc.), basándose en ejemplos muy concretos y calculables. En cierto sentido, el álgebra conmutativa históricamente se originó en la teoría de números algebraicos. (El mismo término «anillo» fue introducido por Hilbert en un contexto de anillos de números, e «ideal» es la abreviación del «número ideal».)

Además, la similitud entre los anillos de números y curvas algebraicas que mencioné arriba, haría este material útil para los que están aprendiendo superficies de Riemann, singularidades de curvas, etc. y los interesados en la geometría algebraica moderna (la teoría de esquemas etc.).

Por último, y no menos importante, este curso es fundamental para los estudiantes con intención de aprender la teoría de números.


CONOCIMIENTOS PRELIMINARES. Tendré que suponer que los oyentes conozcan las nociones como anillo (conmutativo), ideal (primo, maximal), anillo cociente, módulo sobre un anillo (módulo libre, rango), y campo (incluso la teoría de campos finitos). Para el último tema del curso también no estaría mal conocer la teoría de Galois básica. De todas maneras, empezaremos por una revisión de temas importantes de álgebra, y cuando sea necesario en el transcurso, trataremos las nociones poco conocidas. Uno de mis objetivos es presentar diferentes herramientas algebraicas, así como ejemplos muy concretos.


FORMATO. Debido a la contingencia por el COVID-19, el curso será impartido en línea, ¡así que todos los interesados son bienvenidos! Además, los apuntes para cada clase y tareas del curso serán disponibles en esta página.


PLAN TENTATIVO.

Todos los invariantes que serán considerados en el curso se pueden calcular algorítmicamente. En particular, veremos ejemplos de cálculos en el programa PARI/GP y la base de datos LMFDB. Todo el material teórico será acompañado de problemas con pruebas y cálculos particulares.

Referencias

Mi fuente principal de inspiración son los apuntes de Peter Stevenhagen de un curso que se imparte en la universidad de Leiden (Países Bajos). Además, podrían ser útiles diferentes libros de texto sobre el tema; he aquí algunas fuentes que puedo recomendar.

Algunos apuntes en línea:

Libros introductorios:

Lectura avanzada:

Enlaces de interés