Esta página contiene materiales relacionados con el curso de álgebra que di en la Universidad de El Salvador en el primer y segundo semestre de 2018.
Apuntes
Todas las lecciones de 2018 en un solo archivo (457 pp.).
Abajo se pueden descargar los capítulos por separado.
Parte I: Primer encuentro con estructuras algebraicas
- Capítulo 0: Conjuntos (15 pp.)
Aplicaciones entre conjuntos. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Caracterización del conjunto vacío y {*}. Diagramas conmutativos. Caracterización de productos y coproductos. Propiedades universales. Relaciones de equivalencia. - Capítulo 1: Permutaciones (15 pp.)
El grupo simétrico Sn. Permutaciones cíclicas. Signo y el grupo alternante An. - Capítulo 2: Grupos (14 pp.)
Definición de grupos abstractos. Algunas observaciones respecto a los axiomas de grupos. Grupos diédricos. Grupo de cuaterniones. Subgrupos. El centro. - Capítulo 3: Anillos y cuerpos (primer encuentro) (16 pp.)
Anillos. Anillo de matrices Mn (R). Cuerpos. Anillo de polinomios R [X]. ¿Para qué sirven los anillos? Espacios vectoriales. - Capítulo 4: Grupos de unidades (15 pp.)
El grupo de unidades de un anillo. El círculo y las raíces de la unidad. Los restos módulo n invertibles. Unidades en anillos aritméticos. Polinomios invertibles. El grupo lineal general.
Parte II: Teoría de grupos
- Capítulo 5: Homomorfismos (18 pp.)
Ejemplos de homomorfismos. Propiedades básicas de homomorfismos. Mono, epi, iso. Imágenes. Núcleos. Caracterización de mono, epi, iso. - Capítulo 6: Generadores (11 pp.)
Subgrupos generados. Orden de un elemento. Grupos cíclicos. - Capítulo 7: Clases laterales (25 pp.)
Clases laterales. Teorema de Lagrange y sus consecuencias. Aplicación seria: subgrupos finitos de k×. Subgrupos normales. Grupos cociente. Grupos simples. Primer teorema de isomorfía. - Capítulo 8: Conmutadores y abelianización (11 pp.)
El subgrupo conmutador [G,G]. Algunos cálculos de [G,G]. Abelianización. - Capítulo 9: Acciones de grupos (15 pp.)
Definiciones y primeros ejemplos. Órbitas y estabilizadores. Acción de G sobre sí mismo por multiplicación. Acción de G sobre sí mismo por conjugación. Isomorfismos excepcionales: PGL2 (F3) y PGL2 (F5). - Capítulo 10: Productos de grupos (24 pp.)
Productos directos. Productos semidirectos. Sucesiones exactas cortas y extensiones. Grupos abelianos finitamente generados. Perspectiva: el grupo de Mordell–Weil.
Parte III: Teoría de anillos
- Capítulo 11: Anillos (35 pp.)
Subanillos. Homomorfismos de anillos. Álgebras sobre anillos. El álgebra de grupo. Monomorfismos y epimorfismos de anillos. Ideales. Ideales generados. El núcleo de un homomorfismo de anillos. Anillos cociente. Productos de anillos. - Capítulo 12: Anillos conmutativos (35 pp.)
Ideales primos y maximales. Localización. Ideales en la localización. Anillos noetherianos. - Capítulo 13: Aritmética (37 pp.)
Divisibilidad en dominios de integridad. Dominios de ideales principales. Dominios de factorización única. Dominios euclidianos. Valuaciones p-ádicas. Lema de Gauss y factorización de polinomios. Criterios de irreducibilidad.
Parte IV: Teoría de cuerpos
- Capítulo 14: Cuerpos (45 pp.)
Extensiones de cuerpos. Extensiones algebraicas. Extensiones de grado 2. Cuerpos ciclotómicos. Perspectiva: números trascendentes. La norma, traza y polinomio característico. Cuerpos de descomposición. Extensiones separables. Cerradura algebraica. - Capítulo 15: Cuerpos finitos (27 pp.)
La fórmula de Gauss. Automorfismos de cuerpos finitos. Cuerpos finitos y la reciprocidad cuadrática. Perspectiva: ecuaciones sobre cuerpos finitos. Cerradura algebraica de Fp.
Apéndices
- Apéndice A: Divisibilidad en Z (11 pp.)
Subgrupos de Z. División con resto. Divisibilidad y los números primos. El máximo común divisor. El mínimo común múltiplo. El teorema fundamental de la aritmética. Generalizaciones. - Apéndice B: Lema de Zorn (7 pp.)
Lema de Zorn. Aplicación: bases de espacios vectoriales. Aplicación: grupos abelianos divisibles (*). - Apéndice C: Álgebra lineal (5 pp.)
El determinante y traza de un endomorfismo lineal. El polinomio característico. - Apéndice D: Fórmula de inversión de Möbius (2 pp.)
Función de Möbius. Fórmula de inversión. - Apéndice E: Teorema fundamental del álgebra (7 pp.)
Grado de aplicación S1 → S1. Prueba del teorema.
Ciclo impar 2018
Cubrimos los capítulos 0-10 de los apuntes.
Folletos distribuidos en la clase
- Grupos simétricos S3 y S4 (1/03/2018)
- Grupos diédricos D3, D4, D5 (8/03/2018)
- El grupo de cuaterniones Q8 (12/03/2018)
- El grupo GL2 (F2) = SL2 (F2) (10/04/2018)
Tareas
- Tarea 1: Permutaciones (fecha límite: 13/03/2018)
- Tarea 2: Grupos (fecha límite: 22/03/2018)
Solución del ejercicio más tedioso: los subgrupos de D4 - Tarea 3: Anillos (fecha límite: 12/04/2018)
- Algunos ejercicios sobre los números complejos (10/04/2018)
- Tarea 4: Grupos de unidades (fecha límite: 26/04/2018)
- Tarea 5: Homomorfismos (fecha límite: 9/05/2018)
- Tarea 6: Generadores (fecha límite: 16/05/2018)
- Problema especial: Sn no es isomorfo a GLm (Fp)
- Tarea 7: Clases laterales (fecha límite: 31/05/2018)
- Hoja de ejercicios 8: Conmutadores y abelianización
- Hoja de ejercicios 9: Acciones de grupos
- Hoja de ejercicios 10: Productos de grupos
Exámenes
- Examen parcial 1 (3/04/2018)
- Examen parcial 1 repetido (13/04/2018)
- Examen parcial 2 (22/05/2018)
- Examen parcial 2 repetido (8/06/2018)
- Examen parcial 3 (25/06/2018)
- Examen parcial 3 repetido (2/07/2018)
- Preguntas para el examen de suficiencia
Ciclo par 2018
Cubrimos los capítulos 11-15 de los apuntes.
Ejercicios
- Hoja de ejercicios 1: Subanillos, homomorfismos, álgebra de grupo (23/08/2018)
- Hoja de ejercicios 2: Ideales (30/08/2018)
- Hoja de ejercicios 3: Anillos cociente y productos (06/09/2018)
- Hoja de ejercicios 4: Ideales primos y maximales. Localización (20/09/2018)
- Hoja de ejercicios 5: Localización, anillos locales, anillos noetherianos (29/09/2018)
- Hoja de ejercicios 6: Aritmética (16/10/2018)
- Hoja de ejercicios 7: Aritmética II (16/10/2018)
- Hoja de ejercicios 8: Polinomios irreducibles y cuerpos (25/10/2018)
- Hoja de ejercicios 9: Cuerpos (continuación) (8/11/2018)
- Solución del examen corto 8 (8/11/2018)
- Hoja de ejercicios 10: Cuerpos finitos I (15/11/2018)
- Hoja de ejercicios 11: Cuerpos finitos II (22/11/2018)
- Hoja de ejercicios 12: Ecuaciones sobre cuerpos finitos (30/11/2018)
Folletos adicionales
- Localización de Z/nZ (20/09/2018)
- Leyes suplementarias de reciprocidad cuadrática (14/10/2018)
- Factorizaciones de Xn − 1 en Fp (14/10/2018)
- Polinomios ciclotómicos (xx/10/2018)
Exámenes
- Examen parcial 1 (29/09/2018)
- Examen parcial 1 repetido (27/10/2018)
- Examen parcial 2 (6/12/2018)
- Examen parcial 2 repetido (12/12/2018)
- Preguntas para el examen de suficiencia
Lectura adicional
No vamos a seguir ningún libro en específico. Todo el material necesario eventualmente estará en mis apuntes. He aquí algunos libros en inglés.
- E.B. Vinberg, A course in algebra, Graduate Studies in Mathematics, vol. 56, American Mathematical Society, 2003, Translated from the 2001 Russian original by Alexander Retakh.
- David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract algebra, Third ed., John Wiley & Sons, 2004.
- Apuntes de Paul Garrett
- John F. Humphreys, A course in group theory, Oxford University Press, 1996.