Curso de Álgebra (2018)

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Esta página contiene materiales relacionados con el curso de álgebra que di en la Universidad de El Salvador en el primer y segundo semestre de 2018.

Apuntes

Todas las lecciones de 2018 en un solo archivo (457 pp.).

Abajo se pueden descargar los capítulos por separado.

Parte I: Primer encuentro con estructuras algebraicas

• Capítulo 0: Conjuntos (15 pp.)
  Aplicaciones entre conjuntos. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Caracterización del conjunto vacío y {*}. Diagramas conmutativos. Caracterización de productos y coproductos. Propiedades universales. Relaciones de equivalencia.
• Capítulo 1: Permutaciones (15 pp.)
  El grupo simétrico S_n. Permutaciones cíclicas. Signo y el grupo alternante A_n.
• Capítulo 2: Grupos (14 pp.)
  Definición de grupos abstractos. Algunas observaciones respecto a los axiomas de grupos. Grupos diédricos. Grupo de cuaterniones. Subgrupos. El centro.
• Capítulo 3: Anillos y cuerpos (primer encuentro) (16 pp.)
  Anillos. Anillo de matrices M_n (R). Cuerpos. Anillo de polinomios R [X]. ¿Para qué sirven los anillos? Espacios vectoriales.
• Capítulo 4: Grupos de unidades (15 pp.)
  El grupo de unidades de un anillo. El círculo y las raíces de la unidad. Los restos módulo n invertibles. Unidades en anillos aritméticos. Polinomios invertibles. El grupo lineal general.

Parte II: Teoría de grupos

• Capítulo 5: Homomorfismos (18 pp.)
  Ejemplos de homomorfismos. Propiedades básicas de homomorfismos. Mono, epi, iso. Imágenes. Núcleos. Caracterización de mono, epi, iso.
• Capítulo 6: Generadores (11 pp.)
  Subgrupos generados. Orden de un elemento. Grupos cíclicos.
• Capítulo 7: Clases laterales (25 pp.)
  Clases laterales. Teorema de Lagrange y sus consecuencias. Aplicación seria: subgrupos finitos de k^×. Subgrupos normales. Grupos cociente. Grupos simples. Primer teorema de isomorfía.
• Capítulo 8: Conmutadores y abelianización (11 pp.)
  El subgrupo conmutador [G,G]. Algunos cálculos de [G,G]. Abelianización.
• Capítulo 9: Acciones de grupos (15 pp.)
  Definiciones y primeros ejemplos. Órbitas y estabilizadores. Acción de G sobre sí mismo por multiplicación. Acción de G sobre sí mismo por conjugación. Isomorfismos excepcionales: PGL₂ (F₃) y PGL₂ (F₅).
• Capítulo 10: Productos de grupos (24 pp.)
  Productos directos. Productos semidirectos. Sucesiones exactas cortas y extensiones. Grupos abelianos finitamente generados. Perspectiva: el grupo de Mordell–Weil.

Parte III: Teoría de anillos

• Capítulo 11: Anillos (35 pp.)
  Subanillos. Homomorfismos de anillos. Álgebras sobre anillos. El álgebra de grupo. Monomorfismos y epimorfismos de anillos. Ideales. Ideales generados. El núcleo de un homomorfismo de anillos. Anillos cociente. Productos de anillos.
• Capítulo 12: Anillos conmutativos (35 pp.)
  Ideales primos y maximales. Localización. Ideales en la localización. Anillos noetherianos.
• Capítulo 13: Aritmética (37 pp.)
  Divisibilidad en dominios de integridad. Dominios de ideales principales. Dominios de factorización única. Dominios euclidianos. Valuaciones p-ádicas. Lema de Gauss y factorización de polinomios. Criterios de irreducibilidad.

Parte IV: Teoría de cuerpos

• Capítulo 14: Cuerpos (45 pp.)
  Extensiones de cuerpos. Extensiones algebraicas. Extensiones de grado 2. Cuerpos ciclotómicos. Perspectiva: números trascendentes. La norma, traza y polinomio característico. Cuerpos de descomposición. Extensiones separables. Cerradura algebraica.
• Capítulo 15: Cuerpos finitos (27 pp.)
  La fórmula de Gauss. Automorfismos de cuerpos finitos. Cuerpos finitos y la reciprocidad cuadrática. Perspectiva: ecuaciones sobre cuerpos finitos. Cerradura algebraica de F_p.

Apéndices

• Apéndice A: Divisibilidad en Z (11 pp.)
  Subgrupos de Z. División con resto. Divisibilidad y los números primos. El máximo común divisor. El mínimo común múltiplo. El teorema fundamental de la aritmética. Generalizaciones.
• Apéndice B: Lema de Zorn (7 pp.)
  Lema de Zorn. Aplicación: bases de espacios vectoriales. Aplicación: grupos abelianos divisibles (*).
• Apéndice C: Álgebra lineal (5 pp.)
  El determinante y traza de un endomorfismo lineal. El polinomio característico.
• Apéndice D: Fórmula de inversión de Möbius (2 pp.)
  Función de Möbius. Fórmula de inversión.
• Apéndice E: Teorema fundamental del álgebra (7 pp.)
  Grado de aplicación S¹ → S¹. Prueba del teorema.

Ciclo impar 2018

Cubrimos los capítulos 0-10 de los apuntes.

Folletos distribuidos en la clase

• Grupos simétricos S₃ y S₄ (1/03/2018)
• Grupos diédricos D₃, D₄, D₅ (8/03/2018)
• El grupo de cuaterniones Q₈ (12/03/2018)
• El grupo GL₂ (F₂) = SL₂ (F₂) (10/04/2018)

Tareas

• Tarea 1: Permutaciones (fecha límite: 13/03/2018)
• Tarea 2: Grupos (fecha límite: 22/03/2018)
  Solución del ejercicio más tedioso: los subgrupos de D₄
• Tarea 3: Anillos (fecha límite: 12/04/2018)
• Algunos ejercicios sobre los números complejos (10/04/2018)
• Tarea 4: Grupos de unidades (fecha límite: 26/04/2018)
• Tarea 5: Homomorfismos (fecha límite: 9/05/2018)
• Tarea 6: Generadores (fecha límite: 16/05/2018)
• Problema especial: S_n no es isomorfo a GL_m (F_p)
• Tarea 7: Clases laterales (fecha límite: 31/05/2018)
• Hoja de ejercicios 8: Conmutadores y abelianización
• Hoja de ejercicios 9: Acciones de grupos
• Hoja de ejercicios 10: Productos de grupos

Exámenes

• Examen parcial 1 (3/04/2018)
• Examen parcial 1 repetido (13/04/2018)
• Examen parcial 2 (22/05/2018)
• Examen parcial 2 repetido (8/06/2018)
• Examen parcial 3 (25/06/2018)
• Examen parcial 3 repetido (2/07/2018)
• Preguntas para el examen de suficiencia

Ciclo par 2018

Cubrimos los capítulos 11-15 de los apuntes.

Ejercicios

• Hoja de ejercicios 1: Subanillos, homomorfismos, álgebra de grupo (23/08/2018)
• Hoja de ejercicios 2: Ideales (30/08/2018)
• Hoja de ejercicios 3: Anillos cociente y productos (06/09/2018)
• Hoja de ejercicios 4: Ideales primos y maximales. Localización (20/09/2018)
• Hoja de ejercicios 5: Localización, anillos locales, anillos noetherianos (29/09/2018)
• Hoja de ejercicios 6: Aritmética (16/10/2018)
• Hoja de ejercicios 7: Aritmética II (16/10/2018)
• Hoja de ejercicios 8: Polinomios irreducibles y cuerpos (25/10/2018)
• Hoja de ejercicios 9: Cuerpos (continuación) (8/11/2018)
• Solución del examen corto 8 (8/11/2018)
• Hoja de ejercicios 10: Cuerpos finitos I (15/11/2018)
• Hoja de ejercicios 11: Cuerpos finitos II (22/11/2018)
• Hoja de ejercicios 12: Ecuaciones sobre cuerpos finitos (30/11/2018)

Folletos adicionales

• Localización de Z/nZ (20/09/2018)
• Leyes suplementarias de reciprocidad cuadrática (14/10/2018)
• Factorizaciones de Xⁿ − 1 en F_p (14/10/2018)
• Polinomios ciclotómicos (xx/10/2018)

Exámenes

• Examen parcial 1 (29/09/2018)
• Examen parcial 1 repetido (27/10/2018)
• Examen parcial 2 (6/12/2018)
• Examen parcial 2 repetido (12/12/2018)
• Preguntas para el examen de suficiencia

Lectura adicional

No vamos a seguir ningún libro en específico. Todo el material necesario eventualmente estará en mis apuntes. He aquí algunos libros en inglés.

• E.B. Vinberg, A course in algebra, Graduate Studies in Mathematics, vol. 56, American Mathematical Society, 2003, Translated from the 2001 Russian original by Alexander Retakh.
• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract algebra, Third ed., John Wiley & Sons, 2004.
• Apuntes de Paul Garrett
• John F. Humphreys, A course in group theory, Oxford University Press, 1996.