Curso de Álgebra (2019)

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Álgebra.
1. Parte de las matemáticas en la cual las operaciones aritméticas son generalizadas empleando números, letras y signos.
2. Arte de restituir a su lugar los huesos dislocados.
—Diccionario de la Real Academia Española

Esta página contiene materiales relacionados con el curso de álgebra en la Universidad de El Salvador que di en el primer semestre de 2019. Véase también el curso de 2018.

Apuntes

La selección del material es bastante modesta y típica, pero al mismo tiempo refleja mis gustos personales. Actualmente en San Salvador álgebra es una materia del cuarto año de licenciatura, y la preceden cursos de la teoría de números elemental y álgebra lineal. Por esto mis lecciones asumen un conocimiento de dichas materias y un cierto nivel de madurez matemática por parte del lector.

En 2019 hice un experimento pedagógico: en lugar de grupos, el curso empieza por anillos.

• Capítulo 0: Conjuntos, 22/02/2019

Primera parte: Introducción a la teoría de anillos

• Capítulo 1: Anillos, 8/03/2019
• Capítulo 2: Polinomios, 15/03/2019
• Capítulo 3: Aritmetica, 12/04/2019
• Capítulo 4: Homomorfismos y anillos cociente, 26/04/2019
• Capítulo 5: Factorización de polinomios, 03/05/2019

Segunda parte: Introducción a la teoría de grupos

• Capítulo 6: Grupos, 02/06/2019
• Capítulo 7: Homomorfismos de grupos, 20/06/2019

Apéndices

• Apéndice A: Alfabeto griego y fraktur, 26/03/2019
• Apéndice B: Programa PARI/GP, 07/03/2019

Materiales adicionales

• Una prueba alternativa del teorema fundamental del álgebra (la presenté en el curso de 2018; la prueba que aparece en los apuntes actuales es mucho más breve)
• Divisibilidad en Z (este texto acompañaba el curso de 2018, pero en la nueva edición los dominios de factorización única se introducen al principio)
• Bottom lines: un texto de Gian-Carlo Rota sobre Álgebra Uno y Álgebra Dos (en inglés)

Detalles sobre el curso

Horario

• Martes, 1:00–2:45, aula JT5
• Jueves, 1:00–2:45, aula M2
• Viernes, 10:30–12:15, aula M2

Consultas: después de clase o (de preferencia) por correo electrónico.

Programa

• Breve revisión de la teoría de conjuntos.

Introducción a la teoría de anillos (aspectos aritméticos)

• Anillos y cuerpos: definiciones básicas. Subanillos. Ejemplos: $\mathbb{Z}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$; recordatorio sobre los números complejos; $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ y $\mathbb{F}_p$; anillos de funciones sobre un conjunto, funciones continuas sobre un espacio, etc.; anillos aritméticos $\mathbb{Z} [\sqrt{n}]$. Productos de anillos. Cuerpos de fracciones.
• Anillos de polinomios. Raíces de polinomios: teorema de Lagrange, fórmulas de Vieta. División con resto de polinomios. Interpolación. Cuerpo de funciones racionales. Derivadas formales. Raíces múltiples. Teorema fundamental del álgebra. Polinomios ciclotómicos.
• Divisibilidad. Elementos primos e irreducibles. Ideales. Dominios euclidianos. Dominios de ideales principales. MCD y MCM. Dominios de factorización única. Valuaciones $p$-ádicas.
• Homomorfismos de anillos. Anillos cociente. Teoremas de isomorfía. El teorema chino del resto.
• Factorización de polinomios: lema de Gauss y sus consecuencias. Criterios de irreducibilidad. Irreducibilidad de los polinomios ciclotómicos $\Phi_n$ (el caso de $n$ primo, primario y compuesto).

Introducción a la teoría de grupos

• Grupos. Definiciones y ejemplos básicos.
• Grupos diédricos. El grupo del círculo y las raíces de la unidad.
• Subgrupos generados. Grupos cíclicos.
• El grupo simétrico y alternante.
• Grupos $\operatorname{GL}_n$ y $\operatorname{SL}_n$.
• Homomorfismos de grupos. Subgrupos normales. Grupos cociente.

Evaluación

La nota final del curso se obtendrá a partir de 4 evaluaciones:

• tres exámenes parciales, cada uno de 25%,
• cinco exámenes cortos sobre los problemas de las hojas de ejercicios; se tomará el promedio de las 5 notas, que en total valdrá 25% de la nota.

Tareas

• Hoja de ejercicios 1: Conjuntos (22/02/2019)
• Hoja de ejercicios 2: Anillos (1/03/2019)
• Hoja de ejercicios 3: Anillos (continuación) (8/03/2019)
• Hoja de ejercicios 4: Polinomios (15/03/2019)
• Hoja de ejercicios 5: Aritmética I (22/03/2019)
• Hoja de ejercicios 6: Aritmética II (29/03/2019)
• Hoja de ejercicios 7: Aritmética III (05/03/2019)
• Hoja de ejercicios 8: Homomorfismos y anillos cociente (12/04/2019)
• Hoja de ejercicios 9: Homomorfismos y anillos cociente (continuación) (26/04/2019)
• Hoja de ejercicios 10: Factorización de polinomios (03/05/2019)
• Hoja de ejercicios 11: Grupos (24/05/2019)
• Hoja de ejercicios 12: Generadores y órdenes (31/05/2019)
• Hoja de ejercicios 13: Homomorfismos de grupos (07/06/2019)
• Hoja de ejercicios 14: Subgrupos normales y grupos cociente (14/06/2019)
• Ejercicios adicionales sobre grupos (20/06/2019)
• Extra: Taller de PARI/GP (07/05/2019)

Exámenes

Exámenes cortos sobre las tareas

• Examen corto 1 (08/03/2019)
• Examen corto 2 (22/03/2019)
• Examen corto 3 (26/04/2019)
• Examen corto 4 (17/04/2019)
• Examen corto 5 (21/06/2019)

Exámenes parciales

• Examen parcial 1 (05/04/2019)
• Examen parcial 1 (repetido) (27/04/2019)
• Examen parcial 2 (07/06/2019)
• Examen parcial 2 (repetido) (15/06/2019)
• Examen parcial 3 (28/06/2019)
• Examen parcial 3 (repetido) (03/07/2019)

Examen de suficiencia

• Algunas preguntas sobre el curso
• Examen de suficiencia (06/07/2019)

Cronograma

Semana 1 18/02–24/02	Clases Hoja de ejercicios 1
Semana 2 25/02–03/03	Clases Hoja de ejercicios 2
Semana 3 04/03–10/03	Clases Hoja de ejercicios 3 Examen corto 1 (hojas 1 y 2)
Semana 4 11/03–17/03	Clases Hoja de ejercicios 4
Semana 5 18/03–24/03	Clases Hoja de ejercicios 5 Examen corto 2 (hojas 3 y 4)
Semana 6 25/03–31/03	Clases Hoja de ejercicios 6
Semana 7 01/04–07/04	Clases Hoja de ejercicios 7 Examen parcial 1 (material de las semanas 1–6)
Semana 8 08/04–14/04	Clases Hoja de ejercicios 8
15/04–21/04	Vacaciones de la Semana Santa
Semana 9 22/04–28/04	Clases Hoja de ejercicios 9 Examen corto 3 (hojas 7 y 8)
Semana 10 29/04–05/05	Clases Hoja de ejercicios 10
06/05–12/05	El 07/05 daré una lección especial sobre el programa PARI/GP El 9 y 10 de mayo son feriados (el día de la madre)
13/05–19/05	No hay clases MSc. Chicas Reyes organizará el examen corto 4 (hojas 9 y 10)
Semana 11 20/05–26/05	Clases Hoja de ejercicios 11
Semana 12 27/05–02/06	Clases Hoja de ejercicios 12
Semana 13 03/06–09/06	Clases Hoja de ejercicios 13 Examen parcial 2 (material de las semanas 7–12)
Semana 14 10/06–16/06	Clases Hoja de ejercicios 14
Semana 15 17/06–23/06	Las últimas clases Examen corto 5 (hojas 13 y 14)
Semana 16 24/06–30/06	Dos sesiones de ejercicios Examen parcial 3 (material de las semanas 13–15)

Programas informáticos

Para algunos cálculos específicos (sobre todo factorización de polinomios) puede ser útil el programa PARI/GP.

• La página oficial: http://pari.math.u-bordeaux.fr/
• Taller de PARI/GP (07/05/2019)
• Apéndice B de los apuntes dedicado al programa

Además, para la teoría de grupos computacional sirve el programa GAP, y para los cálculos con anillos conmutativos existe Macaulay2, pero no tendremos tiempo de explorarlos en clase.

Lectura adicional

No vamos a seguir ningún libro en específico. Todo el material necesario eventualmente estará en mis apuntes. He aquí algunos libros adicionales en inglés.

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract algebra, Third ed., John Wiley & Sons, 2004.
• E.B. Vinberg, A course in algebra, Graduate Studies in Mathematics, vol. 56, American Mathematical Society, 2003.
• Apuntes de Paul Garrett