En la larga historia de las matemáticas, por «número» se entendía un número real, y no fue sino hasta relativamente hace poco que nos dimos cuenta de que existe el mundo de los números \(p\)-ádicos. Fue como si alguien que haya visto el cielo solamente de día se maraville ante el cielo nocturno. El firmamento matemático es ahora completamente distinto. En el cielo nocturno, \(\mathbb{Q}_p\) emite «la luz del número primo \(p\)» cual una estrella que no podemos ver debido al sol \(\mathbb{R}\), que emite «la luz de los números reales» durante el día. Así como hay incontables estrellas en el cielo nocturno, existe un \(\mathbb{Q}_p\) para cada \(p\); cada estrella es al sol como cada \(\mathbb{Q}_p\) es a \(\mathbb{R}\). De la misma forma en que los objetos del espacio se aprecian mejor de noche, hemos comenzado a explorar el profundo universo matemático a través de los números \(p\)-ádicos.
—Kazuya Kato
Estos son mis apuntes para una serie de charlas con una introducción a los números p-ádicos que di para los estudiantes de la maestría en la Universidad de El Salvador.
- Introducción a los números p-ádicos (39 pp.)
- El lema de Hensel y sus aplicaciones (13 pp.)
Programa
- Recordatorio: espacios métricos
- Normas
- Valuaciones
- Valuaciones y normas \(p\)-ádicas sobre \(\mathbb{Q}\)
- Espacios ultramétricos
- Límites y sucesiones de Cauchy
- Equivalencia de normas
- Teorema de Ostrowski: normas sobre \(\mathbb{Q}\)
- Completación respecto a una norma
- Los números \(p\)-ádicos \(\mathbb{Q}_p\) y los enteros \(p\)-ádicos \(\mathbb{Z}_p\)
- Las expansiones \(p\)-ádicas
- Topología sobre \(\mathbb{Q}_p\) y \(\mathbb{Z}_p\)
- Series formales (ejercicios adicionales)
- Lema de Hensel y sus aplicaciones
Lectura adicional
- Neal Koblitz, p-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions, second ed., Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Springer-Verlag, New York, 1984.
- Svetlana Katok, p-adic analysis compared with real, Student Mathematical Library, vol. 37, American Mathematical Society, Providence, RI; Mathematics Advanced Study Semesters, University Park, PA, 2007.
Contacto
No duden en contactarme por cualquier pregunta sobre el curso: cadadr@gmail.com.
Copyleft
Esta obra está disponible bajo la licencia CC BY-SA 4.0.