Curso de Álgebra (2018)

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Esta página contiene materiales relacionados con el curso de álgebra que di en la Universidad de El Salvador en el primer y segundo semestre de 2018.

Apuntes

Todas las lecciones de 2018 en un solo archivo (457 pp.).

Abajo se pueden descargar los capítulos por separado.

Parte I: Primer encuentro con estructuras algebraicas

• Capítulo 0: Conjuntos (15 pp.)
  Aplicaciones entre conjuntos. Aplicaciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas. Caracterización del conjunto vacío y {*}. Diagramas conmutativos. Caracterización de productos y coproductos. Propiedades universales. Relaciones de equivalencia.

• Capítulo 1: Permutaciones (15 pp.)
  El grupo simétrico \(S_n\). Permutaciones cíclicas. Signo y el grupo alternante \(A_n\).

• Capítulo 2: Grupos (14 pp.)
  Definición de grupos abstractos. Algunas observaciones respecto a los axiomas de grupos. Grupos diédricos. Grupo de cuaterniones. Subgrupos. El centro.

• Capítulo 3: Anillos y cuerpos (primer encuentro) (16 pp.)
  Anillos. Anillo de matrices \(M_n (R)\). Cuerpos. Anillo de polinomios \(R[X]\). ¿Para qué sirven los anillos? Espacios vectoriales.

• Capítulo 4: Grupos de unidades (15 pp.)
  El grupo de unidades de un anillo. El círculo y las raíces de la unidad. Los restos módulo \(n\) invertibles. Unidades en anillos aritméticos. Polinomios invertibles. El grupo lineal general.

Parte II: Teoría de grupos

• Capítulo 5: Homomorfismos (18 pp.)
  Ejemplos de homomorfismos. Propiedades básicas de homomorfismos. Mono, epi, iso. Imágenes. Núcleos. Caracterización de mono, epi, iso.

• Capítulo 6: Generadores (11 pp.)
  Subgrupos generados. Orden de un elemento. Grupos cíclicos.

• Capítulo 7: Clases laterales (25 pp.)
  Clases laterales. Teorema de Lagrange y sus consecuencias. Aplicación seria: subgrupos finitos de \(k^\times\). Subgrupos normales. Grupos cociente. Grupos simples. Primer teorema de isomorfía.

• Capítulo 8: Conmutadores y abelianización (11 pp.)
  El subgrupo conmutador \([G,G]\). Algunos cálculos de \([G,G]\). Abelianización.

• Capítulo 9: Acciones de grupos (15 pp.)
  Definiciones y primeros ejemplos. Órbitas y estabilizadores. Acción de \(G\) sobre sí mismo por multiplicación. Acción de \(G\) sobre sí mismo por conjugación. Isomorfismos excepcionales: \(\operatorname{PGL}_2 (\mathbb{F}_3)\) y \(\operatorname{PGL}_2 (\mathbb{F}_5)\).

• Capítulo 10: Productos de grupos (24 pp.)
  Productos directos. Productos semidirectos. Sucesiones exactas cortas y extensiones. Grupos abelianos finitamente generados. Perspectiva: el grupo de Mordell–Weil.

Parte III: Teoría de anillos

• Capítulo 11: Anillos (35 pp.)
  Subanillos. Homomorfismos de anillos. Álgebras sobre anillos. El álgebra de grupo. Monomorfismos y epimorfismos de anillos. Ideales. Ideales generados. El núcleo de un homomorfismo de anillos. Anillos cociente. Productos de anillos.

• Capítulo 12: Anillos conmutativos (35 pp.)
  Ideales primos y maximales. Localización. Ideales en la localización. Anillos noetherianos.

• Capítulo 13: Aritmética (37 pp.)
  Divisibilidad en dominios de integridad. Dominios de ideales principales. Dominios de factorización única. Dominios euclidianos. Valuaciones \(p\)-ádicas. Lema de Gauss y factorización de polinomios. Criterios de irreducibilidad.

Parte IV: Teoría de cuerpos

• Capítulo 14: Cuerpos (45 pp.)
  Extensiones de cuerpos. Extensiones algebraicas. Extensiones de grado 2. Cuerpos ciclotómicos. Perspectiva: números trascendentes. La norma, traza y polinomio característico. Cuerpos de descomposición. Extensiones separables. Cerradura algebraica.

• Capítulo 15: Cuerpos finitos (27 pp.)
  La fórmula de Gauss. Automorfismos de cuerpos finitos. Cuerpos finitos y la reciprocidad cuadrática. Perspectiva: ecuaciones sobre cuerpos finitos. Cerradura algebraica de \(\mathbb{F}_p\).

Apéndices

• Apéndice A: Divisibilidad en \(\mathbb{Z}\) (11 pp.)
  Subgrupos de \(\mathbb{Z}\). División con resto. Divisibilidad y los números primos. El máximo común divisor. El mínimo común múltiplo. El teorema fundamental de la aritmética. Generalizaciones.

• Apéndice B: Lema de Zorn (7 pp.)
  Lema de Zorn. Aplicación: bases de espacios vectoriales. Aplicación: grupos abelianos divisibles (*).

• Apéndice C: Álgebra lineal (5 pp.)
  El determinante y traza de un endomorfismo lineal. El polinomio característico.

• Apéndice D: Fórmula de inversión de Möbius (2 pp.)
  Función de Möbius. Fórmula de inversión.

• Apéndice E: Teorema fundamental del álgebra (7 pp.)
  Grado de aplicación \(\mathbb{S}^1 \to \mathbb{S}^1\). Prueba del teorema.

Ciclo impar 2018

Cubrimos los capítulos 0-10 de los apuntes.

Folletos distribuidos en la clase

• Grupos simétricos \(S_3\) y \(S_4\) (1/03/2018)

• Grupos diédricos \(D_3\), \(D_4\), \(D_5\) (8/03/2018)

• El grupo de cuaterniones \(Q_8\) (12/03/2018)

• El grupo \(\operatorname{GL}_2 (\mathbb{F}_2) = \operatorname{SL}_2 (\mathbb{F}_2)\) (10/04/2018)

Tareas

• Tarea 1: Permutaciones (fecha límite: 13/03/2018)

• Tarea 2: Grupos (fecha límite: 22/03/2018)
  Solución del ejercicio más tedioso: los subgrupos de \(D_4\)

• Tarea 3: Anillos (fecha límite: 12/04/2018)

• Algunos ejercicios sobre los números complejos (10/04/2018)

• Tarea 4: Grupos de unidades (fecha límite: 26/04/2018)

• Tarea 5: Homomorfismos (fecha límite: 9/05/2018)

• Tarea 6: Generadores (fecha límite: 16/05/2018)

• Problema especial: \(S_n\) no es isomorfo a \(\operatorname{GL}_m (\mathbb{F}_p)\)

• Tarea 7: Clases laterales (fecha límite: 31/05/2018)

• Hoja de ejercicios 8: Conmutadores y abelianización

• Hoja de ejercicios 9: Acciones de grupos

• Hoja de ejercicios 10: Productos de grupos

Exámenes

• Parcial 1 (3/04/2018)
• Parcial 1 repetido (13/04/2018)
• Parcial 2 (22/05/2018)
• Parcial 2 repetido (8/06/2018)
• Parcial 3 (25/06/2018)
• Parcial 3 repetido (2/07/2018)
• Preguntas para el examen de suficiencia

Ciclo par 2018

Cubrimos los capítulos 11-15 de los apuntes.

Ejercicios

• Hoja 1: Subanillos, homomorfismos, álgebra de grupo (23/08/2018)

• Hoja 2: Ideales (30/08/2018)

• Hoja 3: Anillos cociente y productos (06/09/2018)

• Hoja 4: Ideales primos y maximales. Localización (20/09/2018)

• Hoja 5: Localización, anillos locales, anillos noetherianos (29/09/2018)

• Hoja 6: Aritmética (16/10/2018)

• Hoja 7: Aritmética II (16/10/2018)

• Hoja 8: Polinomios irreducibles y cuerpos (25/10/2018)

• Hoja 9: Cuerpos (continuación) (8/11/2018)

• Solución del corto 8 (8/11/2018)

• Hoja 10: Cuerpos finitos I (15/11/2018)

• Hoja 11: Cuerpos finitos II (22/11/2018)

• Hoja 12: Ecuaciones sobre cuerpos finitos (30/11/2018)

Folletos adicionales

• Localización de \(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}\) (20/09/2018)

• Leyes suplementarias de reciprocidad cuadrática (14/10/2018)

• Factorizaciones de \(X^n - 1\) en \(\mathbb{F}_p\) (14/10/2018)

• Polinomios ciclotómicos (xx/10/2018)

Exámenes

• Parcial 1 (29/09/2018)

• Parcial 1 repetido (27/10/2018)

• Parcial 2 (6/12/2018)

• Parcial 2 repetido (12/12/2018)

• Preguntas para el examen de suficiencia

Lectura adicional

No vamos a seguir ningún libro en específico. Todo el material necesario eventualmente estará en mis apuntes. He aquí algunos libros en inglés.

• E.B. Vinberg, A course in algebra, Graduate Studies in Mathematics, vol. 56, American Mathematical Society, 2003, Translated from the 2001 Russian original by Alexander Retakh.

• David S. Dummit and Richard M. Foote, Abstract algebra, Third ed., John Wiley & Sons, 2004.

• Apuntes de Paul Garrett

• John F. Humphreys, A course in group theory, Oxford University Press, 1996.

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Esta obra está disponible bajo la licencia CC BY-SA 4.0.