En torno de las funciones zeta aritméticas
(CIMAT, Guanajuato)

función zeta de Riemann

Introducción

Si $X$ es un esquema de tipo finito sobre $\operatorname{Spec} \mathbb{Z}$, entonces su función zeta se define mediante el producto de Euler $$\zeta (X,s) = \prod_{x \in |X|} \frac{1}{1 - N (x)^{-s}},$$ donde $|X|$ es el conjunto de puntos cerrados de $X$ y $N (x) = \# \kappa (x)$ es el tamaño del campo residual correspondiente (es un número finito, gracias a la hipótesis sobre $X$).

El producto de arriba converge para $\operatorname{Re} s > \dim X$ y conjeturalmente la función zeta admite una prolongación meromorfa a todo el plano complejo (esto se conoce en algunos casos importantes). Tienen interés particular los valores $\zeta (X,n)$ para $n \in \mathbb{Z}$ entero; estos se conocen como los valores especiales.

Las funciones zeta de esquemas son unos de los objetos más estudiados en matemáticas y a la vez más misteriosos.

Por ejemplo, si $X = \operatorname{Spec} \mathbb{Z}$, se recupera la función zeta de Riemann $\zeta (s) = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n^s}$. Aunque fue el mismo Riemann quien empezó a estudiar $\zeta (s)$ como una función de variable compleja, los valores especiales de $\zeta (s)$ ya habían sido estudiados por Euler quien descubrió, por ejemplo, la famosa fórmula $\zeta (2) = \frac{\pi^2}{6}$.

De manera más general, si $\mathcal{O}_F$ es el anillo de enteros de una extensión finita $F/\mathbb{Q}$, entonces tomando $X = \operatorname{Spec} \mathcal{O}_F$ se recupera la función zeta de Dedekind $\zeta_F (s)$. Esta se estudia en la teoría de números algebraicos. Notamos que $\operatorname{Spec} \mathcal{O}_F$ es un esquema unidimensional, pero aún así muchas propiedades de $\zeta_F$ no se conocen, en particular la hipótesis de Riemann y las propiedades de sus valores especiales.

Por otra parte, si el esquema $X$ vive en característica positiva, es una variedad sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$, y en este caso la geometría nos permite saber mucho más de la función zeta. Se tiene $$\zeta (X,s) = Z (X, q^{-s}),$$ donde $$Z (X,t) = \exp \left(\sum_{n\ge 1} \frac{\# X (\mathbb{F}_{q^n})}{n}\,t^n \right)$$ es la función zeta de Hasse–Weil que codifica el número de puntos de $X$ sobre las extensiones finitas $\mathbb{F}_{q^n}/\mathbb{F}_q$. Esta función también ha sido estudiada extensivamente por los teóricos de números, empezando por Gauss. En 1949 André Weil, después de investigar exitosamente el caso de curvas $C/\mathbb{F}_q$, formuló una lista de conjeturas que describen $Z (X,t)$ cuando $X/\mathbb{F}_q$ es una variedad proyectiva lisa de cualquier dimensión. Una gran parte de la geometría algebraica grothendieckiana (la teoría de esquemas, cohomología étale y $\ell$-ádica, etc.) fue desarrollada con el propósito de resolver estas conjeturas. El punto final en las pruebas lo puso Pierre Deligne en 1973. La resolución de las conjeturas de Weil es uno de los logros más importantes de las matemáticas del siglo XX.

Entonces, el mundo de las funciones zeta de esquemas es inmenso, con muchos resultados importantes y aún más conjeturas abiertas.

Minicursos

Propongo dar una serie de exposiciones alrededor de las funciones zeta. Empezaría por una introducción general, y luego mis charlas se dividirían en dos minicursos.

1. Funciones zeta de Hasse–Weil y el teorema de Dwork

Este minicurso sería accesible para los estudiantes de maestría y tal vez los últimos años de licenciatura. Primero propongo ver algunos cálculos de las funciones $Z (X,t)$ de arriba. La teoría de esquemas como tal no será relevante; esto es algo que apreciaría Gauss.

Luego, una de las conjeturas de Weil afirma que $Z (X,t)$ es una función racional: por ejemplo, si consideramos $Z (X,t)$ como una serie formal en $\mathbb{Q} [\![t]\!]$, resulta que en realidad es un cociente de dos polinomios $f (t) / g (t)$. Esto fue demostrado por Dwork en 1960 usando los métodos del análisis $p$-ádico. Nuestro objetivo principal es entender la prueba de Dwork. Empezaríamos por una revisión de los campos $\mathbb{Q}_p$ y $\mathbb{C}_p$ y algunos resultados necesarios del análisis $p$-ádico.

Al final, si hay tiempo e interés, podría hablar brevemente de la demostración de la racionalidad de $Z (X,t)$ mediante la cohomología $\ell$-ádica. Aquí ya no podremos ver muchos detalles, pero creo que no está mal conocer un poco del panorama general y el propósito de las cosas antes de ponerse a estudiar los SGAs.

2. Valores especiales y la cohomología Weil-étale

Muchos matemáticos (Borel, Beĭlinson, Bloch, Kato, Fontaine, Perrin-Riou, ...) han propuesto fórmulas conjeturales que describen los valores especiales de $\zeta (X,s)$ en términos de ciertos invariantes del esquema $X$. Este es un tema inmenso, y voy a enfocarme en una propuesta reciente de Stephen Lichtenbaum, conocida como la cohomología Weil-étale. Entre otras cosas, hablaré de la cohomología motívica (complejos de ciclos de Bloch), teoremas de dualidad aritmética y reguladores. Todo esto está relacionado con los resultados de mi tesis de doctorado (Leiden–Burdeos, diciembre de 2018), basados en las ideas de Matthias Flach y Baptiste Morin.

Horarios

Martes y jueves, 9:30–11:00, salón G001 D607.

La primera sesión tendrá lugar el martes 8 de octubre.

Apuntes

entorno-de-zeta.pdf (actualizados el 17/10/19)

Algunas referencias

Para las funciones zeta de Hasse–Weil:

Para la cohomología Weil-étale:

(N.B. no es la bibliografía sobre la cohomología Weil-étale, sino algunos textos relevantes para mi trabajo.)

Contacto

Alexey Beshenov <c a d a d r arroba gmail punto com>.
Oficina K315 en CIMAT durante mi estancia.