Este es un curso de álgebra conmutativa en el programa de maestría de matemáticas de la Universidad de El Salvador. Vamos a seguir el libro de David Eisenbud «Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry» (Springer GTM 150) y trataremos de cubrir los capítulos 2, 4–7. Los temas principales son localización, dependencia integral, planitud y completación.
Apuntes
Programa
Algunas nociones preliminares: anillos e ideales, módulos, el lema de la serpiente, álgebras, anillos y módulos noetherianos, Hom y producto tensorial.
Localización: construcciones y propiedades básicas, ideales en la localización, localización y el producto tensorial, planitud de la localización, localización e ideales primos, localización y el Hom.
Longitud: series de composición, módulos de longitud finita.
Anillos artinianos.
Teorema de Cayley–Hamilton.
Lema de Nakayama.
Dependencia integral y normalización. Ideales primos en extensiones integrales (going up y going down).
Anillos de Jacobson.
Teorema de los ceros.
Lema de Artin–Rees.
Teorema de intersección de Krull.
Planitud: planitud y \(\operatorname{Tor}_1^R (R/\mathfrak{a},M)\), criterio local de planitud.
Completación: propiedades claves, ejemplos aritméticos.
Series de potencias y R-álgebras completas. Lema de Hensel.
Referencias
David Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry (errata)
M. F. Atiyah and I. G. Macdonald, Introduction to commutative algebra.
Allen Altman, Steven Kleiman, A Term of Commutative Algebra.
J.S. Milne, A Primer of Commutative Algebra.
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