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Jacob Bernoulli y Leonhard Euler

Los números de Bernoulli son ciertos números racionales
\[B_0 = 1, ~ B_1 = \frac{1}{2}, ~ B_2 = \frac{1}{6}, ~ B_3 = 0, ~ B_4 = -\frac{1}{30}, ~ B_5 = 0, ~ B_6 = \frac{1}{42}, ~ B_7 = 0, ~ B_8 = -\frac{1}{30}, ~ \ldots\] que surgen en varios contextos de la teoría de números, combinatoria y análisis. Por ejemplo, la suma de potencias de números naturales se expresa como un polinomio con coeficientes \(B_i\):
\[1^k + 2^k + \cdots + n^k = \frac{1}{k+1}\,\sum_{0 \le i \le k} {k+1\choose i}\,B_i\,n^{k+1-i}.\]
También los números de Bernoulli aparecen en las series de Taylor de varias funciones: \[\frac{t\,e^t}{e^t - 1} = \sum_{k \ge 0} B_k \, \frac{t^k}{k!}, \quad t\,\cot (t) = 1 + \sum_{k \ge 1} (-1)^k \, 2^{2k}\,\frac{B_{2k}}{(2k)!}\,t^{2k}, \quad \text{etc}.\]

Los mismos números surgen cuando se consideran sumas de potencias infinitas, en los valores de la función zeta de Riemann: \[\zeta (2k) = 1 + \frac{1}{2^{2k}} + \frac{1}{3^{2k}} + \frac{1}{4^{2k}} + \cdots = (-1)^{k+1} \, B_{2k}\,\frac{2^{2k-1}}{(2k)!}\,\pi^{2k}.\]

En este minicurso vamos a explorar las diversas definiciones de los números de Bernoulli, sus propiedades aritméticas (teorema de Clausen–von Staudt, números primos irregulares), y algunos resultados sobre la función zeta.

Apuntes

Algunos resultados están ilustrados con cálculos en el programa PARI/GP. El lector puede descargarlo de la página http://pari.math.u-bordeaux.fr/

Apuntes diarios de la clase:

24.02.2017: Sumas de potencias de números naturales y los números de Bernoulli (sesión introductoria)

Para las funciones
\[S_k (n) \mathrel{\mathop:}= \sum_{1 \le i \le n} i^k = 1^k + 2^k + \cdots + n^k\] hemos demostrado la recurrencia
\[S_k (n) = \frac{1}{k+1} \, \left((n+1)^{k+1} - 1 - \sum_{0 \le i \le k-1} {k+1\choose i} \, S_i (n)\right).\]

Por inducción se sigue que \(S_k (n)\) es un polunomio en \(n\) de grado \(k+1\). Luego, por la definición, el \(k\)-ésimo número de Bernoulli \(B_k\) es el coeficiente de \(n\) en el polinomio \(S_k (n)\). En otras palabras, \(B_k \mathrel{\mathop:}= S_k' (0)\).

\[\begin{align*} S_0 (n) & = n,\\ S_1 (n) & = \frac{1}{2}\,n^2\,+\boxed{\frac{1}{2}}\,n,\\ S_2 (n) & = \frac{1}{3}\,n^3+\frac{1}{2}\,n^2+\boxed{\frac{1}{6}}\,n,\\ S_3 (n) & = \frac{1}{4}\,n^4+\frac{1}{2}\,n^3+\frac{1}{4}\,n^2,\\ S_4 (n) & = \frac{1}{5}\,n^5+\frac{1}{2}\,n^4+\frac{1}{3}\,n^3\boxed{-\frac{1}{30}}\,n,\\ S_5 (n) & = \frac{1}{6}\,n^6+\frac{1}{2}\,n^5+\frac{5}{12}\,n^4-\frac{1}{12}\,n^2,\\ S_6 (n) & = \frac{1}{7}\,n^7+\frac{1}{2}\,n^6+\frac{1}{2}\,n^5-\frac{1}{6}\,n^3+\boxed{\frac{1}{42}}\,n,\\ S_7 (n) & = \frac{1}{8}\,n^8+\frac{1}{2}\,n^7+\frac{7}{12}\,n^6-\frac{7}{24}\,n^4+\frac{1}{12}\,n^2,\\ S_8 (n) & = \frac{1}{9}\,n^9+\frac{1}{2}\,n^8+\frac{2}{3}\,n^7-\frac{7}{15}\,n^5+\frac{2}{9}\,n^3\boxed{-\frac{1}{30}}\,n,\\ S_9 (n) & = \frac{1}{10}\,n^{10}+\frac{1}{2}\,n^9+\frac{3}{4}\,n^8-\frac{7}{10}\,n^6+\frac{1}{2}\,n^4-\frac{3}{20}\,n^2,\\ S_{10} (n) & = \frac{1}{11}\,n^{11}+\frac{1}{2}\,n^{10}+\frac{5}{6}\,n^9-n^7+n^5-\frac{1}{2}\,n^3+\boxed{\frac{5}{66}}\,n. \end{align*}\]

Los primeros números de Bernoulli son \[\begin{array}{rcccccccccccc} k\colon & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & \cdots \\ \hline B_k\colon & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{6} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{1}{42} & 0 & -\frac{1}{30} & 0 & \frac{5}{66} & \cdots \end{array}\]

De la recurrencia para \(S_k (n)\) se sigue que los números \(B_k\) satisfacen
\[\sum_{0 \le i \le k} {k+1 \choose i}\,B_i = k+1.\]
Esto nos da una definición alternativa de \(B_k\).

27.02.2017: Series formales de potencias

Hemos revisado las series formales de potencias. Son expresiones de la forma \(f (t) = \sum_{k\ge 0} a_k\,t^k\) con coeficientes racionales \(a_k\in \mathbb{Q}\).

El ejemplo más importante para nosotros va a ser
\[e^t \mathrel{\mathop:}= \sum_{k\ge 0} \frac{t^k}{k!}.\]

Tenemos la suma y el producto

\[\begin{align*} \left(\sum_k a_k\,t^k\right) + \left(\sum_k a_k\,t^k\right) & \mathrel{\mathop:}= \sum_k (a_k+b_k)\,t^k,\\ \left(\sum_k a_k\,t^k\right)\cdot \left(\sum_k a_k\,t^k\right) & \mathrel{\mathop:}= \sum_k \left(\sum_{i+j = k} a_i\,b_j\right)\,t^k \end{align*}\]

que satisfacen las propiedades habituales.

Una serie \(f (t) = \sum_k a_k\,t^k\) es invertible (es decir, existe \(g (t)\) tal que \(f (t)\cdot g (t) = 1\)) si y solamente si \(a_0\ne 0\). Una serie formal de Laurent es una serie formal \(\sum_{k\ge -N} a_k\,t^k\) con un número finito de potencias negativas. Toda serie de Laurent no nula es invertible.

Hemos definido las derivadas formales por
\[\left(\sum_{k\ge 0} a_k\,t^k\right)' \mathrel{\mathop:}= \sum_{k \ge 1} k\,a_k\,t^{k-1}.\]
Las derivadas satisfacen las propiedades habituales:

28.02.2017: Logaritmo formal. La función generatriz para \(B_k\). Polinomios de Bernoulli

Hemos demostrado que el logaritmo formal
\[\operatorname{ln} (1 + t) \mathrel{\mathop:}= \sum_{k\ge 1} (-1)^{k+1}\,\frac{t^k}{k}\]
es inverso a la serie exponencial:
\[\operatorname{ln} (1 + (e^t - 1)) = t, \quad e^{\ln (1 + t)} = 1+t.\]

Luego hemos visto que los números de Bernoulli pueden ser definidos mediante la función generatriz
\[\frac{t\,e^t}{e^t - 1} = \sum_{k \ge 0} B_k \, \frac{t^k}{k!}.\]

Usando la función generatriz, es fácil demostrar que \(B_k = 0\) para \(k \ge 3\) impar, y también fórmulas como
\[t\,\cot (t) = 1 + \sum_{k \ge 1} (-1)^k \, 2^{2k}\,\frac{B_{2k}}{(2k)!}\,t^{2k}\]
(¡esta serie nos va a servir más adelante!)

Finalmente, hemos definido los polinomios de Bernoulli mediante la función generatriz
\[\frac{t\,e^{tx}}{e^t-1} \mathrel{\mathop:}= \sum_{k \ge 0} B_k (x)\,\frac{t^k}{k!}\]
y hemos visto algunas de sus propiedades:

01.03.2017: Valores de la función zeta y números de Bernoulli

Hemos demostrado que los polinomios de Bernoulli satisfacen \(B_k' (x) = k\,B_{k-1} (x)\) y \(\int_0^1 B_k (x)\,dx = 0\). Hemos notado que \(B_k (x) = S_k' (x)\) para \(k \ne 1\).

\[\begin{align*} B_0 (x) & = 1, \\ B_1 (x) & = x - \frac{1}{2}, \\ B_2 (x) & = x^2 - x + \frac{1}{6}, \\ B_3 (x) & = x^3 - \frac{3}{2}\,x^2 + \frac{1}{2}\,x,\\ B_4 (x) & = x^4 - 2\,x^3 + x^2 - \frac{1}{30}, \\ B_5 (x) & = x^5 - \frac{5}{2}\,x^4 + \frac{5}{3}\,x^3 - \frac{1}{6}\,x, \\ B_6 (x) & = x^6 - 3\,x^5 + \frac{5}{2}\,x^4 - \frac{1}{2}\,x^2 + \frac{1}{42},\\ B_7 (x) & = x^7 - \frac{7}{2}\,x^6 + \frac{7}{2}\,x^5 - \frac{7}{6}\,x^3 + \frac{1}{6}\,x, \\ B_8 (x) & = x^8 - 4\,x^7 + \frac{14}{3}\,x^6 - \frac{7}{3}\,x^4 + \frac{2}{3}\,x^2 - \frac{1}{30},\\ B_9 (x) & = x^9 - \frac{9}{2}\,x^8 + 6\,x^7 - \frac{21}{5}\,x^5 + 2\,x^3 - \frac{3}{10}\,x, \\ B_{10} (x) & = x^{10} - 5\,x^9 + \frac{15}{2}\,x^8 - 7\,x^6 + 5\,x^4 - \frac{3}{2}\,x^2 + \frac{5}{66}. \end{align*}\]

Luego, hemos visto un par de demostraciones de la famosa fórmula de Euler
\[\zeta (2k) = 1 + \frac{1}{2^{2k}} + \frac{1}{3^{2k}} + \frac{1}{4^{2k}} + \cdots = (-1)^{k+1} \, B_{2k}\,\frac{2^{2k-1}}{(2k)!}\,\pi^{2k}.\]

La primera demostración está basada en comparación de dos series:
\[t\,\cot (t) = 1 + \sum_{k \ge 1} (-1)^k \, 2^{2k}\,\frac{B_{2k}}{(2k)!}\,t^{2k}\]
y
\[t\,\cot (t) = t\,\sum_{n\in \mathbb{Z}} \frac{1}{t - \pi n}.\]

La segunda demostración calcula la serie de Fourier
\[B_k (x - \lfloor x\rfloor) = -\frac{k!}{(2\pi i)^k}\sum_{\substack{n\in \mathbb{Z} \\ n \ne 0}} \frac{e^{2\pi i n x}}{n^k}.\]

02.03.2017: Valores de la función zeta en los enteros negativos. Números de Stirling

Primero, hemos visto que la ecuación funcional
\[\zeta (s) = 2^s \, \pi^{s-1} \, \operatorname{sen} \left(\frac{\pi s}{2}\right)\,\Gamma (1-s)\,\zeta (1-s)\] junto con la fórmula de Euler
\[\zeta (2k) = (-1)^{k+1} \, B_{2k}\,\frac{2^{2k-1}}{(2k)!}\,\pi^{2k}\] nos dan para los enteros negativos \[\zeta (-n) = -\frac{B_{n+1}}{n+1}.\]

\[\begin{array}{rcccccccccccc} n\colon & 0 & -1 & -2 & -3 & -4 & -5 & -6 & -7 & -8 & -9 & -10 & \cdots \\ \hline \zeta(n)\colon & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{12} & 0 & \frac{1}{120} & 0 & -\frac{1}{252} & 0 & \frac{1}{240} & 0 & -\frac{1}{132} & 0 & \cdots \end{array}\]

Luego, hemos revisado los números de Stirling sus propiedades básicas

\[\begin{align*} \genfrac[]{0pt}{}{k}{\ell} & = 0 \quad\text{para }\ell > k,\\ \genfrac[]{0pt}{}{k}{k} & = 1,\\ \genfrac[]{0pt}{}{k}{1} & = (k-1)!,\\ \sum_{1 \le \ell \le k} \genfrac[]{0pt}{}{k}{\ell} & = k!,\\ \genfrac[]{0pt}{}{k+1}{\ell} & = \genfrac[]{0pt}{}{k}{\ell-1} + k\,\genfrac[]{0pt}{}{k}{\ell}; \end{align*}\]

\[\begin{align*} \genfrac\{\}{0pt}{}{k}{\ell} & = 0 \quad\text{para }\ell > k,\\ \genfrac\{\}{0pt}{}{k}{k} & = 1,\\ \genfrac\{\}{0pt}{}{k}{1} & = 1,\\ \sum_{1 \le \ell \le k} \genfrac\{\}{0pt}{}{k}{\ell} & = b (k),\\ \genfrac\{\}{0pt}{}{k+1}{\ell} & = \genfrac\{\}{0pt}{}{k}{\ell-1} + \ell\,\genfrac\{\}{0pt}{}{k}{\ell}. \end{align*}\]

Hemos obtenido la función generatriz para \(\genfrac\{\}{0pt}{}{k}{\ell}\):
\[\frac{(e^t - 1)^\ell}{\ell!} = \sum_{k \ge \ell} \genfrac\{\}{0pt}{}{k}{\ell}\,\frac{t^k}{k!}.\]

03.03.2017: Una expresión para los números de Bernoulli. Introducción a PARI/GP

Hemos demostrado las identidades

\[\genfrac\{\}{0pt}{}{k}{\ell} = \frac{(-1)^\ell}{\ell!}\,\sum_{0 \le i \le \ell} (-1)^i \, {\ell \choose i} \, i^k\]
y
\[B_k = (-1)^k \, \sum_{0 \le \ell \le k} \frac{(-1)^\ell \, \ell! \, \genfrac\{\}{0pt}{}{k}{\ell}}{\ell+1} = (-1)^k \, \sum_{0 \le \ell \le k} \frac{1}{\ell+1}\,\sum_{0 \le i \le \ell} (-1)^i \, {\ell \choose i} \, i^k.\]

Esto quiere decir que los números de Bernoulli pueden ser expresados por una fórmula sin recurrencias.

Luego, hemos visto cómo trabajar con el programa PARI/GP.

06.03.2017: Sesión de ejercicios

Vamos a hacer ejercicios sobre congruencias en la clase.

07.03.2017: Teorema de Clausen–von Staudt. Congruencias de Kummer. Primos irregulares

Hemos demostrado el teorema de Clausen–von Staudt: para todo \(k \ge 2\) par se tiene
\[B_k = -\sum_{\substack{p\text{ primo} \\ p-1 \, \mid \, k}} \frac{1}{p} + C_k,\]
donde \(C_k \in \mathbb{Z}\) y la suma es sobre todos los \(p\) tales que \(p-1\) divide a \(k\).

También hemos demostrado las congruencias de Kummer: si \(p\) es un número primo y \(k\) un entero positivo tal que \(p-1 \nmid k\), entonces

Usando el teorema de Clausen–von Staudt y las congruencias de Kummer, hemos demostrado que hay un número infinito de primos irregulares (\(p\) es irregular si y solamente si \(p\) divide al numerador de algún número de Bernoulli \(B_{2k}\) para \(2k \le p-3\)).

El examen final

El examen consiste en 10 ejercicios de 1 punto cada uno. Favor enviar las soluciones por correo electrónico.

Referencias

El material que vamos a cubrir está en los primeros capítulos del libro