Este seminario está dedicado a los esquemas que generalizan las variedades algebraicas. Las fuentes sugeridas son [G-W, Cap. 1-4], [E-H, Cap. I, II, VI], [Man], y [Sha, Cap. 5]. Los prerrequisitos son álgebra conmutativa, topología general y teoría de categorías.
En total habrá solamente 10 sesiones, que apenas bastan para explicar qué es un esquema, así que se trata de una invitación a la teoría de esquemas.
Apuntes
Invitación a la teoría de esquemas (actualizados el 29 de agosto de 2019)
Cronograma
Sesión 1 (12/08/19). Definimos el espacio \(\operatorname{Spec} A\) e investigamos sus propiedades topológicas.
Sesión 2 (13/08/19). Definimos prehaces, haces, fibras y hacificación.
Sesión 3 (14/08/19). Terminamos nuestra introducción a la teoría de haces por la imagen directa \(f_*\mathcal{F}\) e inversa \(f^{-1}\mathcal{G}\) y la adjunción \(\operatorname{Hom}_X (f^{-1} \mathcal{G}, \mathcal{F}) \cong \operatorname{Hom}_Y (\mathcal{G}, f_* \mathcal{F})\). Definimos espacios anillados y localmente anillados \((X,\mathcal{O}_X)\) y sus morfismos.
Sesión 4 (15/08/19). Definimos la estructura de espacio localmente anillado \((\operatorname{Spec} A, \mathcal{O}_{\operatorname{Spec} A})\) y los esquemas afines como espacios localmente anillados \((X,\mathcal{O}_X) \cong (\operatorname{Spec} A, \mathcal{O}_{\operatorname{Spec} A})\). Probamos que la categoría de esquemas afines es (anti)equvalente a la categoría de anillos conmutativos.
Sesión 5 (19/08/19). Al inicio de clase volvimos a la construcción del haz estructural de \(\operatorname{Spec} A\) para describirlo en el caso particular cuando \(A\) es un dominio. Luego probamos un resultado más general que la antiequivalencia de la vez pasada: si \((X, \mathcal{O}_X)\) es cualquier espacio localmente anillado e \((Y, \mathcal{O}_Y)\) es un esquema afín, entonces las secciones globales nos dan una biyección \(\operatorname{Hom}_\mathbf{ELA} (X,Y) \cong \operatorname{Hom}_\mathbf{Anillos} (\mathcal{O}_Y (Y),\mathcal{O}_X (X))\). Terminamos por la noción del subesquema cerrado \(V (\mathfrak{a}) \subseteq \operatorname{Spec} A\) asociado a un ideal \(\mathfrak{a} \subseteq A\).
Sesión 6 (20/08/19). Introdujimos esquemas en general. Como un ejemplo de esquema no afín, tomamos el plano sin origen \(\mathbb{A}^2_k\setminus\{0\}\). Terminamos por la definición de \(S\)-esquemas.
Sesión 7 (21/08/19). Hablamos del pegamiento de haces y sus morfismos.
Sesión 8 (22/08/19). Hablamos del pegamiento de espacios localmente anillados (y en particular de esquemas) y sus morfismos.
Sesión 9 (26/08/19). Construimos los productos fibrados de esquemas \(X\times_S Y\).
Sesión 10 (27/08/19). Hablamos del funtor de puntos \(R\text{-}\mathbf{Alg} \to \mathbf{Set}\) que determina un esquema \(X\) sobre \(R\).
Referencias
[G-W] Ulrich Görtz, Torsten Wedhorn, Algebraic Geometry I: Schemes
[E-H] David Eisenbud, Joe Harris, The Geometry of Schemes
[Man] Yu.I. Manin, Introduction to the Theory of Schemes
[Sha] I.R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry 2: Schemes and Complex Manifolds
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