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Diapositivas

10/08/2020. Clase 1

Breve introducción. Campos y anillos de números. PARI/GP.

12/08/2020. Clase 2

Divisibilidad, elementos primos e irreducibles; dominios de factorización única, de ideales principales y euclidianos. Enteros de Gauss \(\mathbb{Z} [i]\). El teorema de dos cuadrados de Fermat.

17/08/2020. Clase 3

Campos residuales \(\mathbb{Z} [i]/(\pi)\). Enteros de Eisenstein \(\mathbb{Z} [\zeta_3]\). Reciprocidad cúbica.

19/08/2020. Clase 4

Ternas pitagóricas \(x^2 + y^2 = z^2\) y \(\mathbb{Z} [i]\). Ecuación de Fermat \(x^3 + y^3 = z^3\) y \(\mathbb{Z} [\zeta_3]\). Puntos enteros en curvas elípticas \(y^2 = x^3 + t\). Ecuación de Pell \(x^2 - dy^2 = 1\) y las unidades en \(\mathbb{Z} [\sqrt{d}]\).

24/08/2020. Clase 5

Suma y producto de ideales. Ideales coprimos. Teorema chino del resto. Ideales primos y maximales. Ideales en anillos de números.

26/08/2020. Clase 6

Ideales en anillos de números (continuación). Ideales fraccionarios y el grupo de Picard. Anillo de enteros \(\mathcal{O}_K\).

31/08/2020. Clase 7

Anillo de enteros \(\mathcal{O}_K\) (continuación). Dominios de Dedekind.

02/09/2020. Clase 8

Teorema de Kummer–Dedekind.

07/09/2020. Clase 9

Traza y norma. Emparejamiento de traza. \(\operatorname{rk} \mathcal{O}_K = [K : \mathbb{Q}]\). Discriminante \(\Delta_K\).

09/09/2020. Clase 10

Cálculos de determinantes y anillos de enteros.

14/09/2020. Clase 11

Cálculos de anillos de enteros (continuación). Versión general de Kummer–Dedekind. Ramificación y discriminante.

21/09/2020. Clase 12

Teoremas de Brill y Stickelberger. Campos linealmente disjuntos. El anillo de enteros de \(\mathbb{Q} (\zeta_n)\).

23/09/2020. Clase 13

Factorización de primos en \(\mathbb{Q} (\zeta_n)\). Campos de números en PARI/GP.

28/09/2020. Clase 14

Parte 1/2. Ideales en el anillo de enteros en PARI/GP.

Parte 2/2. Experimentos numéricos. Teorema de densidad de Chebotarëv.

05/10/2020. Clase 15

Parte 1/2. Breve revisión de la teoría de Galois. Problema inverso de Galois para G abeliano. Teorema de Kronecker–Weber (enunciado).

Parte 2/2. Acción de \(\operatorname{Gal} (K/\mathbb{Q})\) sobre los ideales primos

07/10/2020. Clase 16

Teorema de Dirichlet sobre primos en progresiones aritméticas (enunciado y bosquejo de la prueba).

12/10/2020. Clase 17

Grupo de descomposición e inercia. Otra prueba de la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss.

14/10/2020. Clase 18

Automorfismo de Frobenius.

19/10/2020. Clase 19

Retículos y el teorema de Minkowski. Teorema de cuatro cuadrados.

21/10/2020. Clase 20

Parte 1/3. Anillo de enteros como un retículo.

Parte 2/3. Cota de Minkowski.

Parte 3/3. Teorema de Hermite.

26/10/2020. Clase 21

Finitud del grupo de clases. Campos cuadráticos imaginarios. Teorema de Baker–Heegner–Stark. Polinomio \(x^2 + x + 41\) y los números de la suerte de Euler. Campos cuadráticos reales. Heurística de Cohen–Lenstra. Campos ciclotómicos.

Lectura adicional recomendada:

28/10/2020. Clase 22

Teorema de unidades de Dirichlet.

04/11/2020. Clase 23

Fracciones continuas.

09/11/2020. Clase 24

Fracciones continuas para \(\sqrt{d}\). Soluciones de la ecuación de Pell \(x^2 - dy^2 = \pm 1\). Unidad fundamental para \(\mathbb{Z} [\sqrt{d}]\) y \(\mathbb{Z} \Bigl[\frac{1+\sqrt{d}}{2}\Bigr]\).

11/11/2020. Clase 25

Parte 1/2: Función zeta de Dedekind. Números \(n = x^2 + y^2\).

Parte 2/2: Enunciado de la fórmula analítica del número de clases. Regulador.

18/11/20. Clase 26

Uso de la fórmula del número de clases.

23/11/2020. Clase 27

Bosquejo de demostración de la fórmula del número de clases.

25/11/2020. Clase 28

Función zeta y series \(L\) para extensiones abelianas \(K/\mathbb{Q}\).

30/11/2020. Clase 29

Valores especiales de funciones zeta de Dedekind y series \(L\) de Dirichlet. Números de Bernoulli. Números de Bernoulli generalizados. Teorema de Siegel-Klingen.

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