Consideremos un campo de números \(K/\mathbb{Q}\). Si \(p\) es un primo racional que no se ramifica en \(K\), entonces se tiene \(p\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}_1\cdots\mathfrak{p}_s\), y los grados de campos residuales cumplen \(\sum_i f_i = n\), donde \(n = [K:\mathbb{Q}]\).
¿Con qué frecuencia ocurre cada partición de \(n\)? Los siguientes videos muestran las frecuencias calculadas para un número bastante grande de primos. Se ve que estas convergen a ciertos números. Su significado explica el teorema de densidad de Chebotarëv.
Lectura recomendada:
- P. Stevenhagen, H. W. Lenstra, Jr., Chebotarëv and his density theorem, Math. Intelligencer 18 (1996), no. 2, 26–37.
http://pub.math.leidenuniv.nl/~lenstrahw/PUBLICATIONS/1994c/art.pdf
Ejemplos
\(K = \mathbb{Q}(i)\)
\(K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})\)
\(K = \mathbb{Q}(\sqrt[3]{2},\zeta_3)\)
\(K = \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2},i)\)
\(K = \mathbb{Q}(\zeta_{13})\)
\(K = \mathbb{Q}(\zeta_{61})\)
\(K = \mathbb{Q}[x]/(x^4-x+1)\)
\(K = \mathbb{Q}[x]/(x^5-x+1)\)
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